Variables al´ eatoires

Pierre-Louis CAYREL 2008-2009

Pr´ epa HEC 2 disponible sur www.cayrel.net

Lyc´ ee Lavoisier Feuille n

2

Variables al´ eatoires

1 Variables al´ eatoires sans tableaux

Exercice 1 (d´ epouillement de vote) L’objectif de cet exercice est de simuler le d´ epouillement d’une urne ` a la suite d’un scrutin qui voyait s’affronter les deux candidats A et B. On sait que finalement c’est A qui l’a emport´ e. On cherche ` a estimer la probabilit´ e que lors du d´ epouillement, le candidat A soit toujours rest´ e en tˆ ete. Un calcul de probabilit´ e fond´ e sur un principe de miroir

´

etablit que si n est le nombre de voix de A et p celui de B (avec ´ evidemment ici n > p), la probabilit´ e d’un tel d´ epouillement est :

.

1. ´ Ecrire une fonction Pascal que l’on pourra appeler d´ epouillement dont les arguments sont les nombres n et p. Fonction qui calcule, au fur et ` a mesure du d´ epouillement, l’´ evolution des scores des deux candidats et qui renverra la valeu 1 si A est toujours rest´ e en tˆ ete et 0 sinon.

2. ´ Ecrire un programme qui invite l’utilisateur ` a fournir les valeurs de n, p et le nombre de simulations de d´ epouillement d´ esir´ e. Programme qui donnera pour finir la propor- tion de d´ epouillement r´ epondant ` a la condition pos´ ee. Ce r´ esultat sera ` a comparer ` a la probabilit´ e :

.

Exercice 2 (d’apr` es Concours G´ en´ eral 1999)

Une urne contient n(n > 0) boules blanches et p(p > 0) boules noires. L’algorithme est le suivant :

1

´ etape : on retire au hasard une boule de l’urne et l’on note sa couleur ;

2

´ etape : on tire au hasard une boule de l’urne si elle est de la mˆ eme couleur que celle pr´ ec´ edemment retir´ ee on la retire ´ egalement. On r´ eit` ere cette op´ eration tant que l’on tire des boules de la mˆ eme couleur.

Si l’on tire une boule de couleur diff´ erente de celle de la boule pr´ ec´ edemment retir´ ee, on la remte dans l’urne et l’on retourne ` a la 1

´ etape. On s’arrˆ ete quand il ne reste plus qu’une boule dans l’urne. La question pos´ ee ´ etait : quelle est la probabilit´ e que la boule restant dans l’urne soit noire ?

Quelques soient les valeurs initiales de n et de p. La r´ eponse est : 0,5. L’objectif de cet exercice n’est pas d’´ etablir ce r´ esultat mais de simuler l’algorithme.

1. ´ Ecrire une fonction en Pascal dont les arguments sont n et p et dont le r´ esultat est la couleur de la boule restante. La couleur pourra ˆ etre cod´ ee par 0 pour blanche et 1 pour noire.

2. ´ Ecrire un programme qui demande ` a l’utilisateur de donner : – la valeur des arguments n et p;

– le nombre de simulations de l’algorithme.

Programme qui donnera pour finir la moyenne des cas ` u la derni` ere boule est noire.

Exercice 3 (m´ ethode de Monte-Carlo) Utiliser la m´ ethode de Monte-Carlo pour approximer l’int´ egrale de la fonction d´ efinie par :

x 7→ exp(−x

) sur l’intervalle [0; 1].

L’int´ egrale que l’on veut approximer est celle d’une fonction positive sur le segment choisi. Elle est donc ´ egale ` a l’aire de la surface comprise entre la courbe repr´ esentative de f, l’axe des abscisses et les deux droites d’´ equation respectives : x = 0; x = 1. Cette surface s’inscrit dans un carr´ e de cot´ es de longueur 1. Vous pourrez comparer ce r´ esultat avec celui obtenu ` a l’aide de la m´ ethode des rectangles.

Exercice 4 (loi de Bernoulli) Il s’agit d’estimer, grˆ ace ` a la loi faible des grands nombres, le param` etre p inconnu d’une loi de Bernoulli et de comparer l’estimation obtenue ` a la valeur p.

D’apr` es la loi faible des grands nombres, la fr´ equence de r´ ealisation de l’´ ev´ enement {X = 1}

au cours dde n essais, tend, quand n → +∞, vers l’esp´ erance E(X) = p de la variable al´ eatoire X.

Ecrire un programme qui tout d’abord g´ ´ en` ere le param` etre b de la loi B(p) (de mani` ere al´ eatoire), puis calcule la fr´ equance f de r´ ealisation de l’´ ev´ enement de probabilit´ e p pour n (n > 1000) simulations de cette loi et enfin, compare le r´ esultat obtenu au param` etre p, en calculant l’´ ecart relatif :

.

Exercice 5 (loi binomiale) ´ Ecrire un programme qui affiche la loi d’une variable al´ eatoire X qui suit une loi binomiale de param` etres n et p (c’est-` a-dire les P (X = k) pour k ∈ {0, 1, . . . , n}).

Les param` etres n et p seront fournis au programme, apr` es que celui-ci ait affich´ e un message d’invite.

Exercice 6 (loi binomiale) ´ Ecrire un programme qui affiche cˆ ote ` a cote la loi B(10,

) et les fr´ equences obtenues en simulant 1000 fois cette loi.

Exercice 7 (loi hyperg´ eom´ etrique) La loi hyperg´ eom´ etrique ´ etant la loi du loto, l’objectif est de simuler le tirage d’un loto (six num´ eros sans num´ ero compl´ ementaire). La fonction Pascal random(49)+1, va permettre de g´ en´ erer de mani` ere al´ eatoire six nombres compris entre 1 et 49.

L’utilisateur remplira sa grille de six nombres snas connaˆıtre ceux que le g´ en´ erateur a donn´ e.

Ensuite les deux s´ eries de nombres seront compar´ ees.

Ecrire un programme comportant trois proc´ ´ edures :

– une premi` ere qui demande au joueur de remplir sa grille ; – une seconde qui g´ en` ere al´ eatoirement la grille gagnante ;

– une troisi` eme qui compare les deux grilles et affiche le nombre de num´ eros gagnants.

Cet exercice pourra ˆ etre prolong´ e en jouant un grand nombre de grilles et en calculant le nombre moyen de bons num´ eros qui doit tendre vers l’esp´ erance de la loi H(49; 6;

) qui ici vaut

. Exercice 8 (lois binomiale et hyperg´ eom´ etrique) ´ Ecrire un programme de simulation de la loi hyperg´ eom´ etrique H(n

+ n

; n;

1+n2

) qui utilise la r´ ecursivit´ e.

Exercice 9 (loi g´ eom´ etrique)

1. ´ Ecrire une fonction en Pascal qui simule la loi g´ eom´ etrique en utilisant la fonction random(n).

2. Ins´ erer cette fonction dans un programme auquel tous les param` etres n´ ecessaires seront

fournis par l’utilisateur ` a la suite de messages d’invite.

Exercice 10 (loi de Poisson) ´ Ecrire une proc´ edure qui ` a partir du param` etre de la loi de poisson, d´ etermine la valeur de k pour laquelle la probabilit´ e est la plus grande et affiche ces deux valeurs sous la forme P (X = k) = max .

Exercice 11 (lois binomiale et de Poisson) Comparaison de la loi binomiale et de la loi de Poisson. Les param` etes de laloi binomiale sont : n = 40; p = 0, 025. Ce qui donne comme param` etre de la loi de Poisson : λ = np = 1. Ecrire un programme qui calcule les ´ P (X = k) pour k ∈ {0, 1, . . . , 40}, pour chacune des deux lois et les affiche de mani` ere ` a pouvoir comparer les r´ esultats.

Exercice 12 (loi exponentielle) Utilisation de la fonction ci-dessus pour simuler la loi expo- nentielle de param` etre l.

1. ´ Ecrire une fonction Pascal qui simule la loi E (1).

2. Int´ egrer cette fonction dans un programme qui effectue n r´ ealisations de cette loi, et compare le r´ esultat obtenu ` a celui que pr´ evoit la th´ eorie (loi faible des grands nombres).

Exercice 13 (loi de Cauchy) On sait que si X suit une loi de Cauchy, alors on a : P (0 < X 6 1) = 1

π Z

0

dx

(1 + x

) = 1 4 . 1. ´ Ecrire une fonction Pascal qui simule la loi C (1).

2. ´ Ecrire un programme en Pascal qui :

– premette un grand nombre de simulations de cette loi ;

– compare la valeur de P (0 < X 6 1) trouv´ ee grˆ ace ` a ces simulations ` a celle pr´ evue par la th´ eorie ` a savoir

.

Exercice 14 (loi normale)

1. En utilisant le th´ eor` eme de la limite centr´ ee et la loi uniforme sur [0; 1], ´ ecrire une fonction Pascal qui simule N (

,

).

2. ´ Ecrire un programme qui s’assure que la variable al´ eatoire centr´ ee et r´ eduite obtenue

`

a partir de la simulation de la question pr´ ec´ edente, v´ erifie la propri´ et´ e d’une variable al´ eatoire de loi N (0, 1).

Exercice 15 (Jeux d’urnes via HEC 2000 - Voie E) On consid` ere deux jetons A et B et deux rnes U

et U

. Au d´ epart, on place les deux jetons dans l’urne U

. On proc` ede ensuite ` a une succession de lancers d’un d´ e cubique ´ equilibr´ e.

Apr` es chaque lancer on effectue l’op´ eration suivante : – si on a obtenu 1 ou 2 on change le jeton A d’urne ; – si on a obtenu 3 ou 4 on change le jeton B d’urne ; – si on a obtenu 5 ou 6 on ne change rien.

On note, pour n ∈ N , X

[respectivement Y

] le num´ ero de l’urne dans laquelle se trouve le jeton A [respectivement B] ` a l’issue du n-i` eme lancer. Ainsi X

= 0 si le jeton A est dans l’urne U

` a l’issue du n-i` eme lancer.

Ecrire un programme qui simule cette exp´ ´ erience en demandant ` a l’utilisateur un entier m et qui affiche la liste des couples observ´ es (X

, Y

) pour 1 6 n 6 m.

Exercice 16 (Temps d’attente via ESSEC 2003 - Voie E) Soit k un entier naturel non nul.

On effectue des lancers successifs d’un mˆ eme d´ e cubique ´ equililbr´ e jusqu’` a ce que la somme des

r´ esultats obtenus soit sup´ erieure ` a k. On note :

– X

, X

, . . . les variables al´ eatoires donnant le num´ ero amen´ e par le d´ e lors du premier lanc´ e, deuxi` eme lancer, etc.

– pour tout entier n, Y

la somme des points obtenus lors des n permiers lancers ;

– T

le nombre de celles des variables al´ eatoires y

qui prennet une valeur inf´ erieure ou ´ egale

` a k.

Par exemple si les lancers successifs am` enenent 1,2,1,3,5,4,6, on a Y

= 1, Y

= 3, Y

= 4, Y

= 7, Y

= 12, etc. et T

= 3, T

= 4.

Ecrire un programme Pascal appelant la fonction ´ random(6), qui simule des lancers successfs jusqu’` a ce que la somme des r´ esultats sit sup´ erieure ` a 20, et qui affiche la valeur de T

. Exercice 17 (Loi de Pascal via HEC ESCP EML 2002 - Voie E) On appelle dur´ ee de vie d’un composant ´ electronique la dur´ ee de fonctionnement de ce composant jusqu’` a sa premi` ere panne ´ eventuelle. Un premier composant est mis en service ` a l’instant 0 et, quand il tombe en panne, est remplac´ e instantan´ ement par un composant identique qui sera remplac´ e ` a son tour

`

a l’instant de sa premi` ere panne et ainsi de suite.

On mod´ elise la dur´ ee de vie e chacun des composants par une vairable al´ eatoire T g´ eom´ etrique de param` etre p ∈]0, 1[.

1. ´ Ecrire une fonction Pascal utilisant la fonction random r´ eelle, d’en-tˆ ete : FUNCTION NbP (p : real ; n : integer) : integer;

qui, connaissant le nombre r´ eel p et un nombre entier strictement positif n, simule l’exp´ erience et retourne le nombre de pannes survenues jusqu’` a l’instant n.

2. ´ Ecrire une proc´ edure Pascal d’en-tˆ ete :

PROCEDURE Arret (p : real ; r : integer);

qui, connaissant le nombre r´ eel p et un nombre entier strictement positif r, simule l’exp´ erience en l’arrˆ etant d` es que le nombre de pannes attent le nombre r et affiche la valeur de l’instant n o` u l’arrˆ et s’est produit.

Exercice 18 (Loi de Mengoli) On consid` ere une urne contenant deux boules indiscernables au toucher. L’une est blanche l’autre est noire. On suppose que l’on dispose d’un stock infini de boules noires et l’on proc` ede ` a des tirages successifs dans l’urne suivant le protocole suivant : – si la boule tir´ ee est blanche les tirages s’arrˆ etent ;

– si la boule tir´ ee est noire, on la replace dans l’urne accompagn´ ee d’une autre boule noire provenant du stock annexe.

On note X le nombre de tirages effectu´ es lorsque la boule blanche est tir´ ee.

1. Etude math´ ´ ematique

a) Calculer pour tout n ∈ N

la probabilit´ e p

de X = n. V´ erifier que X est une variable al´ eatoire.

b) x admet-elle une esp´ erance ? 2. Simulation informatique

a) ´ Ecrire une fonction d’en-tˆ ete :

FUNCTION urne (n,p : integer) : char;

utilisant random qui renvoie al´ eatoirement l’un des caract` eres b ou r de mani` ere ` a

simuler le tirage d’une boule dans une urne contenant n boules noires et p boules

blanches.

b) ´ Ecrire un programme utilisant la fonction urne et affichant les r´ esultats successifs des tirages sous la forme :

N N N N B X=5

Exercice 19 (Via ESCP - Oral 1999) On lance une pi` ece de monnaie jusqu’` a ce que l’on obtienne pour la premi` ere fois une s´ erie d’au moins deux r´ esultats identiques suivis d’un r´ esultat contraire. On arrˆ ete alors les lancers. On suppose que la probabilit´ e d’obtenir pile lorsqu’on lance la pi` ece est p, la probablit´ e d’obtenir face ´ etant alors q = 1 − p.

1. Que renvoie la fonction suivante lorsqu’on l’ex´ ecute ? FUNCTION f (p : real) : char;

VAR

ok : boolean;

BEGIN

ok := random <= p;

IF ok THEN f := ’P’ ELSE f := ’F’;

END;

2. On suppose que p = 0, 8. On note X la variable al´ eatoire ´ egale au nombre de lancers effectu´ es, et Y la variable al´ eatoire ´ egale au rang du lancer o` u commence la premi` ere s´ erie de r´ esultats identiques. ´ A l’aide de la fonction f, ´ ecrire un programme affichant ` a l’´ ecran une s´ erie de lancers et la valeur correspondante des variables X et Y sous la forme : P F P F P F P P P P P F X = 12 Y = 7

On utilisera une variable r : ARRAY[1..1000] OF char dans laquelle on stockera les r´ esultats des lancers successifs obtenus.

3. Critiquer ce programme et en proposer un plus efficace.

Exercice 20 (Simulation des lois usuelles)

1. (a) Soit X une variable al´ eatoire de loi uniforma sur l’intervalle [0, 1[. D´ eterminer la loi de la variable Y = − ln(1 − X).

(b) En d´ eduire une fonction Pascal d’en-tˆ ete : FUNCTION expo : real;

simulant la loi exponentelle de param` etre 1.

2. D´ eterminer plus g´ en´ eralement une fonction Pascal simulant la loi exponentielle de pa- ram` etre b ∈ R

.

3. On suppose que les appels successifs ` a la fonction random sont ind´ ependants. En d´ eduire une fonction Pascal gamma permettant de simuler une loi Gamma de param` etres (b, n).

4. Expliquer ce que retourne la fonction mystere suivante pour un param` etre n grand.

FUNCTION mystere (n : longint) : real;

BEGIN

mystere := (gamma(1,n)-n)/sqrt(n);

END;

Exercice 21 (Simulation d’une loi de Poisson via HEC - Oral 2002) Toutes les variables

al´ eatoires sont dans cet exercice d´ efinies sur un espace probabilis´ e (Ω, A, P ). Soit (X

)

une suite de variables al´ eatoires ind´ ependantes suivant toutes la loi E (1). On pose S

= 0 et pour tout n non nul,

S

=

n

X

k=1

X

.

Soit λ un r´ eel strictement positif. On d´ efinit l’application T de la mani` ere suivante : pour tout

´

el´ ement ω de Ω, on note T (ω) le plus petit entier naturel n pour lequel S

(ω) > λ (on admet qu’un tel entier existe presque sˆ urement).

1. Quelle est, pour tout entier n non nul, la loi de la variable S

? 2. Montrer que T − 1 suit une loi de Poisson de param` etre λ.

3. On rappelle que l’affectation x := -\ln(1-random) donne ` a x une valeur al´ eatoire suivant une loi exponentielle de param` etre 1. ´ Ecrire une fonction poisson de param` etre lambda simulant une variable al´ eatoire de loi P (λ).

Exercice 22 (Loi de cauchy) Soit f la fonction d´ efinie sur R par f (x) =

.

1. V´ erifier que f est une densit´ e de probabilit´ e. On dit d’une variable al´ eatoire admettant f pour densit´ e qu’elle suit une loi de Cauchy.

2. Soit X une variable al´ eatoire de loi uniforme sur l’intervalle ] −

,

[. Montrer que la variable al´ eatoire tan(X) suit une loi de Cauchy.

3. On suppose dans cette question que la fonction Pascal random renvoie un r´ eel al´ eatoire de ]0, 1[. Proposer une fonction Pascal qui simule une loi de Cauchy.

Exercice 23 (Via ESSEC 2003 - Voie E) Soit X la variable al´ eatoire ´ egale au r´ esultat de la fonction Pascal suivante :

FUNCTION X : integer;

VAR

alea : integer;

BEGIN

alea := random(3);

IF alea = 2 THEN X := random(2)+1 ELSE X := 3;

END;

D´ eterminer la loi de X et calculer son esp´ erance.

Exercice 24 On consid` ere le programme suivant : VAR

X,i,n : integer;

BEGIN

Randomize;

ReadLn(n);

X := 0;

FOR i := 1 TO n DO Begin

IF X = 0 THEN X := -1+random(2)*2 ELSE X := -1+random(3);

Write(X,’’);

End;

END.

1. D´ ecrire l’exp´ erience mod´ elis´ ee par ce programme.

2. On note, pour tout k ∈ [1, n], X

la variable al´ eatoire ´ egale au k-i` eme nombre affich´ e lors de l’ex´ ecution de ce programme. Modifier le programme de telle sorte qu’il affiche la premi` ere valeur non nulle de k pour laquelle X

= 0.

Exercice 25 (Via ESCP - Oral 2002) On consid` ere le programme suivant : VAR

a,u,v,w : real;

BEGIN

Randomize;

ReadLn(a);

u := random*a;

v := a-u;

IF v > u THEN w := -v ELSE w := u;

END.

On note Y, U, V et X les variables al´ eatoires ´ egales aux valeurs des variables y,u,v et x apr` es l’ex´ ecution du programme.

1. Quelle est la loi de Y ?

2. D´ eterminer la loi de U, en d´ eduire la fonction de r´ epartition de V.

3. Soit x un r´ eel de ]0, 1[. Montrer en appliquant la formule des probabilit´ es totales que : P (X 6 x) = 1

4

√ x + 3

4 (1 − √

1 − x).

En d´ eduire la densit´ e de X.

Exercice 26 (Via ESC 2003 - Voie E) On consid` ere le programme suivant : CONST

p = 0,25;

VAR

y : integer;

u,v,x : real;

BEGIN

Randomize;

IF random < p THEN y := 0 ELSE y := 1;

u := random;

v := u*u;

x := (1-v)*y+v*(1-y);

END.

On note U, V et W les variables al´ eatoires ´ egales aux valeurs des variables u,v et w apr` es l’ex´ ecution du programme.

Exercice 27 On consid` ere le type :

CONST n = 50;

TYPE

tableau = ARRAy[0..n] OF integer;

u,v,x : real;

1. Expliquer le fonctionnement de la proc´ edure suivante : PROCEDURE P (VAR sigma : tableau);

VAR

i,j : integer;

BEGIN

FOR j := 1 TO n DO sigma[j] := 0;

FOR i := 1 TO n DO Begin

REPEAT

j := random(n)+1;

UNTIL sigma[j] = 0;

sigma[j] := i;

End;

END.

Pr´ eciser en particulier le contenu de la variable sigma apr` es l’ex´ ecution de la proc´ edure P.

2. On appelle point fixe d’une variable sigma de type tableau tout entier i pour lequel sigma[i] = i. Ecrire une fonction d’en-tˆ ete :

FUNCTION point_fixe (sigma : tableau) : integer;

qui associe ` a une variable sigma cr´ ee parla proc´ edure P son premier point fixe s’il en existe un et la valeur -1 sinon.

Exercice 28 (Via HEC - Oral 1997) ´ Ecrire un programme qui permet de remplir al´ eatoirement un tableau de 200 cases avec 100 fois 0 et 100 fois 1.

2 Variables al´ eatoires et tableaux

Exercice 29 On dispose de dix urnes identiques. La premi` ere contient une boule portant le n˚1 ; la seconde deux boules portant l’une le n˚1 et l’autre le n˚2 etc.

La dixi` eme contenant dix boules portant les num´ eros 1 ` a 10.

1. Simuler l’exp´ erience consistant ` a choisir une urne au hasard, puis ` a tirer au hasard

´ egalement une boule de l’urne et ` a noter le num´ ero obtenu.

2. R´ ep´ eter l’exp´ erience n fois (la valeur de n sera fournie au programme apr` es un message d’invite) et ranger dans un tableau le nombre d’apparitions de chacun des num´ eros.

3. Faire un autre tableau identique au premier, dans lequel figurera la probabilit´ e th´ eorique d’apparition de chaque num´ ero, multipli´ ee par le nombre de n r´ ep´ etitions de l’exp´ erience.

4. Comparer les deux tableaux (d’apr` es la loi faible des grands nombres quand n augmente

les deux tableaux doivent converger).

Exercice 30 (d’apr` es HEC 1999) Une urne contient des boules de s couleurs diff´ erentes not´ ees C

. On tire n boules de l’urne successivement et avec remise apr` es chaque tirage. On note X

, la variable al´ eatoire ´ egale au nombre de boules de couleur C

obtenues ` a l’issue des n tirages.

On remarque que la variable X

d´ epend de n et que l’on a : P

i=1

X

= n.

Ici il y a trois couleurs, C

, C

et C

dans les proportions respectives suivantes :

,

,

.

Un tableau T, contiendra dans T [i] les valeurs 1, 2 ou 3 selon que la boule tir´ ee au i-` eme coup a la couleur C

, C

ou C

. On utilisera la fonction random(4) qui retourne un entier al´ eatoire compris entre 0 et 3. On note X

la variable al´ eatoire ´ egale au nombre de boules de couleur C

obtenues ` a l’issue des n tirages. On remarque que la variable X

d´ epend de n et que P

i=1

X

= n.

On suppose avoir d´ efini dans un programme Pascal : type Tableau = array[1..100] of integer;

1. ´ Ecrire une proc´ edure Pascal :

procedure Tirage(var T:Tableau);

permettant de simuler le tirage avec remise de 100 boules dans une urne contenant des boules de couleur C

, C

ou C

.

2. ´ Ecrire une fonction difference de param` etre T qui retourne la valeur de X

− X

. 3. ´ Ecrire une fonction moyenne de param` etre T qui retourne la moyenne des apparitions de

la couleur C

.