X suit une loi binomiale de paramètres n=10 et p=1/5=0.2 Je détermine p(X&gt Je calcule E(X

(1)

V Douine – TS – Travail à distance 13 - CORRECTION

Page 1

Le QCM

Un élève répond au hasard aux 10 questions d’un QCM. Pour chaque question, cinq réponses sont proposées dont une seule est exacte. X est la variable aléatoire égale au nombre de bonnes réponses. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse ne rapporte aucun point.

1. Quelle est la probabilité pour cet élève d’obtenir la moyenne, c'est-à-dire d’avoir au moins 5 bonnes réponses ? Calculer l’espérance mathématique du nombre de bonnes réponses.

X suit une loi binomiale de paramètres n=10 et p=1/5=0.2 Je détermine p(X>=5)=0.0328

Je calcule E(X)=10*0.2=2

2. Reprendre l’exercice avec un QCM comportant 10 questions et 3 réponses.

X suit une loi binomiale de paramètres n=10 et p=1/3 Je détermine p(X>=5)=0.2131

Je calcule E(X)=10*1/3=3.33

3. Reprendre l’exercice avec un QCM comportant 10 questions et 2 réponses.

X suit une loi binomiale de paramètres n=10 et p=1/2=0.5 Je détermine p(X>=5)=0.623

Je calcule E(X)=10*1/2=5 Le quorum

Une association comprenant 30 adhérents organise chaque année une assemblée générale. Les statistiques montrent que chaque adhérent assiste à l’assemblée avec la probabilité 80 %. Les décisions prises par l’assemblée n’ont de valeur légale que lorsque plus de la moitié des adhérents assiste à l’assemblée.

1. Quelle est la probabilité que, lors de la prochaine assemblée, le quorum soit atteint ? Calculer l’espérance mathématique du nombre d’adhérents présents lors de la prochaine assemblée.

(2)

Page 2

X suit une loi binomiale de paramètres n=30 et p=0.8 Je détermine p(X>=16)=0.9998

Je calcule E(X)=30*0.8=24

2. Reprendre le problème avec une probabilité de présence de chaque adhérent égale à 50%.

X suit une loi binomiale de paramètres n=30 et p=0.5 Je détermine p(X>=16)=0.4278

Je calcule E(X)=30*0.5=15 Un paradoxe

Paul affirme : « Avec un dé régulier, on a autant de chance d’obtenir au moins un six en 4 lancers que d’obtenir au moins deux six avec 8 lancers ». Sara objecte : « Pas du tout. Dans le premier cas, la probabilité est supérieure à 0,5, dans le deuxième cas, elle est inférieure à 0,5 ». Qui a raison ? Si X suit une loi binomiale de paramètres n=4 et p=1/6. Alors p(X>=1)=0.5178 > 0.5

Tandis que :

Si X suit une loi binomiale de paramètres n=8 et p=1/6. Alors p(X>=2)=0.3954 < 0.5 C’est donc Sara qui a raison.

(3)

Page 3

Lancers de pièce

On lance une pièce équilibrée n fois. On s’intéresse à la probabilité d’obtenir « face » dans 60 % des cas ou plus. Calculer cette probabilité dans le cas n10. Puis la calculer dans le cas n100. Si X suit une loi binomiale de paramètres n=10 et p=1/2

Alors p(X>=6)=0.377

Si X suit une loi binomiale de paramètres n=100 et p=1/2 Alors p(X>=60)=0.0284

Un autre QCM

Un QCM comporte 20 questions. Pour chaque question, quatre réponses sont proposées dont une seule est juste. Chaque réponse juste rapporte un point et il n’y a pas de pénalité pour une réponse fausse. Un candidat répond au hasard à chaque question.

1. Quel nombre total de points peut-il espérer ?

X suit une loi binomiale de paramètres n=20 et p=1/4=0.25 E(X)=20*0.25=5

Il peut espérer avoir 5 bonnes réponses.

2. Quelle pénalité doit-on attribuer à une réponse fausse pour que le total espéré, en répondant entièrement au hasard, soit égal à 2 sur 20 ?

5 bonnes réponses sous-entendent 15 réponses fausses.

J’appelle p la pénalité accordée aux réponses fausses.

Je modélise la situation par l’équation suivante : 5*1+15*p=2

15*p=2-5 15*p=-3

p=-3/15=-1/5=-0.2

Il faut donc attribuer une pénalité de 0.2 points pour chaque réponse fausse.

(4)

Page 4

3. Quelle pénalité doit-on attribuer à une réponse fausse pour que le total espéré, en répondant entièrement au hasard, soit égal à 0 sur 20 ?

Je reprends le même raisonnement avec l’équation suivante.

5*1+15*p=0 15*p=-5

p=-5/15=-1/3=-0.33…

Il faut donc attribuer une pénalité de 0.33 points environ pour chaque réponse fausse.