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X = le nombre de pile obtenu au cours des n lancers effectués X suit une loi binomiale de paramètres n et p=0.5

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Situation 1

1. On joue avec une pièce bien équilibrée. Combien de lancers dois-je effectuer pour être sûr à 99% d’obtenir au moins une fois Pile ? Justifier de manière précise votre réponse.

X = le nombre de pile obtenu au cours des n lancers effectués X suit une loi binomiale de paramètres n et p=0.5

1

1

0

1 0, 5n

p X    p X   

Je dois résoudre l’inéquation suivante :

 

 

1 0,5 0,99 0,5 0, 01 ln 0, 01

ln 0,5 6, 64

n n

n n

 

 

 

 

Je dois effectuer 7 lancers pour être sûr à 99% d’obtenir au moins une fois pile.

2. Je lance dix fois la pièce et obtiens une seule fois Pile. Peut-on remettre en cause le principe d’équiprobabilité entre Pile et Face et dire que cette pièce est déséquilibrée ? Expliquer de manière précise et détaillée votre raisonnement.

Je modélise la situation par une loi binomiale de paramètres n=10 et p=0,5 Je détermine l’intervalle de fluctuation à 95% = [2 ; 8]

1 n’appartient pas à cet intervalle

Donc je peux remettre en cause le principe d’équiprobabilité entre Pile et Face et dire que cette pièce est déséquilibrée (au risque d’erreur de 5%).

Loi de probabilité cumulée croissante B(10 ; 0,5)

Situation 2

1. On joue avec un dé équilibré comportant six faces. Combien de lancers dois-je effectuer pour être sûr à 99% d’obtenir au moins une fois Six ? Justifier clairement votre réponse.

X = le nombre de six obtenu au cours des n lancers effectués X suit une loi binomiale de paramètres n et p=1/6

1101 5

6

n

p X   p X       

Je dois résoudre l’inéquation suivante :

(2)

 

 

1 5 0, 99

6

5 0, 01 6

ln 0, 01 ln 5 / 6 25, 26

n

n

n n

    

    

 

 

Je dois effectuer 26 lancers pour être sûr à 99% d’obtenir au moins une fois pile.

2. Je lance vingt fois le dé et n’obtiens jamais Six. Peut-on remettre en cause le caractère équilibré de ce dé et penser qu’il est truqué ? Expliquer de manière précise et détaillée votre raisonnement.

Je modélise la situation par une loi binomiale de paramètres n=20 et p=1/6 Je détermine l’intervalle de fluctuation à 95% = [0 ; 7]

0 appartient à cet intervalle

Donc je ne peux pas remettre en cause le principe d’équiprobabilité entre Pile et Face et dire que cette pièce est déséquilibrée.

Loi de probabilité cumulée croissante B(20 ; 1/6)

Exercice 6

Un rapport médical affirme que 46% des habitants d’une région sont atteints d’une certaine pathologie. Pour vérifier cette donnée, un médecin ausculte 200 patients et diagnostique que la moitié d’entre eux sont atteints de cette même pathologie. Peut-il remettre en question, au seuil d’erreur de 5%, la proportion annoncée dans le rapport médical ? Pourquoi ?

Je modélise la situation par une loi binomiale de paramètres n=200 et p=0,46 Je détermine l’intervalle de fluctuation à 95% = [78 ; 106]

100 appartient à cet intervalle.

Donc il ne peut pas remettre en question la proportion annoncée dans le rapport médical.

Non satisfait de ce premier résultat, il décide d’ausculter 50 patients supplémentaires sur lesquels il diagnostique 35 personnes atteintes. Peut-il désormais remettre en question, au seuil d’erreur de 5%, la proportion annoncée dans le rapport médical ? Pourquoi ?

Je modélise cette nouvelle situation par une loi binomiale de paramètres n=250 et p=0,46 Je détermine l’intervalle de fluctuation à 95% = [100 ; 106]

135=100+35 n’appartient pas à cet intervalle.

Donc il a désormais des éléments qui lui permettent de remettre en question la proportion

annoncée dans le rapport médical (au risque d’erreur de 5%).

(3)

1. On suppose que la probabilité que Julien marque un panier lors d’un lancer au basket est de 6 chances sur 10. Combien Julien doit-il envisager de lancers pour être sûr à 99% d’en marquer au moins un au cours de la série ? Les étapes du raisonnement seront détaillées.

X = le nombre de pile obtenu au cours des n lancers effectués X suit une loi binomiale de paramètres n et p=0.6

1

1

0

1 0, 4n

p X   p X   

Je dois résoudre l’inéquation suivante :

 

 

1 0, 4 0,99 0, 4 0, 01 ln 0, 01 ln 0, 4 5, 02

n n

n n

 

 

 

 

Je dois effectuer 6 lancers pour être sûr à 99% de réussir au moins un panier.

2. Julien effectue 20 lancers et en marque 7. Cette série de 20 tirs est-elle représentative de ses capacités ? Expliquer de manière précise et détaillée pourquoi.

Je modélise la situation par une loi binomiale de paramètres n=20 et p=0,6 Je détermine l’intervalle de fluctuation à 95% = [8 ; 16]

7 n’appartient pas à cet intervalle

Donc je peux affirmer que la série de 20 tirs au cours de laquelle il marque 7 paniers n’est pas représentative de ses capacités (au risque d’erreur de 5%).

Exercice 8 Utiliser la loi des probabilités cumulées croissantes de la B(100 ; 0,1) proposée ci-dessous 1. On suppose que le pourcentage de gauchers dans la population est égale à 10%. Combien

de personnes doit-on réunir pour être sûr à 99% d’avoir au moins un gaucher dans l’assemblée ainsi constituée ? Les étapes du raisonnement seront détaillées.

X = le nombre de pile obtenu au cours des n lancers effectués X suit une loi binomiale de paramètres n et p=0.1

1

1

0

1 0, 9n

p X    p X   

Je dois résoudre l’inéquation suivante :

 

 

1 0,9 0,99 0,9 0, 01 ln 0, 01

ln 0,9 43, 71

n n

n n

 

 

 

 

Je dois effectuer 44 lancers pour être sûr à 99% d’avoir au moins un gaucher.

(4)

2. On réunit 100 personnes et on compte 4 gauchers. Cet échantillon est-il représentatif de la proportion de gauchers ? Expliquer de manière précise et détaillée pourquoi.

Je modélise la situation par une loi binomiale de paramètres n=10 et p=0,1 Je détermine l’intervalle de fluctuation à 95% = [5 ; 16]

4 n’appartient pas à cet intervalle

Donc je peux affirmer que cet échantillon n’est pas représentatif de la proportion de gauchers (au risque d’erreur de 5%).

Exercice 9 Utiliser une loi des probabilités cumulées croissantes proposée ci-derrière

On fabrique une pièce déséquilibrée qui devrait tomber sur pile quatre fois sur dix. On lance cette pièce 100 fois pour savoir si elle vérifie ce critère. Déterminer le nombre minimal et maximal de pile que l’on doit obtenir pour ne pas avoir à remettre en cause la fabrication. Justifier.

Je modélise la situation par une loi binomiale n=100 et p=0,4 Je détermine l’intervalle de fluctuation à 95% = [31 ;50]

Pour ne pas avoir à remettre en cause la fabrication il faudrait obtenir entre 31 et 50 fois pile sur un total de 100 lancers.

On constitue une assemblée de 200 personnes qui devrait contenir 44% de personnes d’origine mexicaine. Déterminer le nombre minimal et maximal de personnes d’origine mexicaine que cette assemblée doit compter pour ne pas avoir à remettre en cause sa constitution. Justifier.

Je modélise la situation par une loi binomiale n= 200 et p=0,44 Je détermine l’intervalle de fluctuation à 95% = [74 ;102]

Pour ne pas avoir à remettre en cause la constitution de cette assemblée il faudrait qu’il y ait entre 74 et 104 personnes d’origine mexicaine sur les 200 personnes.

Exercice 10 Utiliser une loi des probabilités cumulées croissantes proposée ci-derrière

Un journal affirme que 46% de la population votera en faveur d’un certain parti politique. Pour vérifier cette donnée, un institut de sondage interroge 200 personnes et observe que la moitié d’entre eux votera pour ce parti. L’institut de sondage peut-il remettre en question, au seuil d’erreur de 5%, la proportion annoncée dans journal ? Pourquoi ?

Non satisfait de ce premier résultat, l’institut interroge 50 personnes supplémentaires sur lesquelles 35 personnes déclarent qu’ils voteront pour ce parti. Peut-on désormais remettre en question, au seuil d’erreur de 5%, la proportion annoncée dans le journal ? Pourquoi ?

Voir correction de l’exercice 6

(5)

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