3. Variables al´ eatoires.

Universit´ e du Littoral Cˆ ote d’Opale Probabilit´ es

L2 math´ ematiques

Ann´ ee 2020-2021 Fiche n

3. Variables al´ eatoires.

Exercice 1. Un joueur lance trois fois une pi` ece de monnaie non truqu´ ee. Il gagne deux euros si le r´ esultat est ”pile” et perd un euro si le r´ esultat est ”face”. On d´ esigne par X le gain (ou la perte) du joueur au bout des trois lanc´ es.

(1) Donner l’univers Ω associ´ e ` a l’exp´ erience.

(2) Pr´ eciser l’ensemble des valeurs possibles de X . (3) Calculer la loi de X.

Exercice 2. Pour ces exp´ eriences al´ eatoires, donner l’univers Ω et les probabilit´ es qui les d´ ecrivent.

Puis, pour chacune des variables al´ eatoires que l’on ´ etudie, pr´ eciser le nom de la loi, ses param` etres et donner l’expression de P (X = k) pour tout entier k.

(1) On lance un d´ e vingt fois. Quelle est la loi du nombre de 5 obtenus ? Quelle est la probabilit´ e d’obtenir moins de trois fois un 5 ?

(2) Une urne contient une boule blanche et une boule noire. On prend dans cette urne une boule au hasard, on la remet et on ajoute une boule de la mˆ eme couleur. Quelle est la loi du nombre de boules blanches dans l’urne ?

(3) Au bord de l’A7, un ´ etudiant fait du stop. En cette saison, un vingti` eme des automobilistes s’arrˆ ete pour prendre un stoppeur. Quelle est la loi du nombre de v´ ehicules que l’´ etudiant verra passer avant qu’il ne trouve un chauffeur ? Quelle est la probabilit´ e qu’il monte dans la quatri` eme voiture qui passe ? Quelle est la probabilit´ e qu’il voit passer au moins 6 voitures qui ne s’arrˆ etent pas ?

Exercice 3. Soit X une variable al´ eatoire ` a valeurs dans un ensemble fini E telle que P (X = x) = P (X = y) pour tous x, y ∈ E. Montrer que X suit la loi uniforme.

Exercice 4. Soit n ≥ 1. Consid´ erons une variable al´ eatoire X ` a valeurs dans N de loi v´ erifiant :

∀k ≥ 1, P (X = k) = n

(n + 1)

. D´ eterminer P (X = 0).

Exercice 5. Dans une poste d’un petit village, on remarque qu’entre 10h et 11h, la probabilit´ e pour que deux personnes entrent durant la mˆ eme minute est consid´ er´ ee comme nulle et que l’arriv´ ee des personnes est ind´ ependante de la minute consid´ er´ ee. On a observ´ e que la probabilit´ e pour qu’une personne se pr´ esente entre la minute n et la minute n+ 1 est p = 0.1. On veut calculer la probabilit´ e pour que 3,4,5,6,7,8. . . personnes se pr´ esentent au guichet entre 10h et 11h.

(1) D´ efinir une variable al´ eatoire adapt´ ee, puis r´ epondre au probl` eme consid´ er´ e.

(2) Quelle est la probabilit´ e pour qu’au moins 10 personnes se pr´ esentent au guichet entre 10h et 11h ?

Exercice 6. (1) Soit X une variable al´ eatoire suivant la loi B(n, p). Montrer que n − X suit la loi B(n, 1 − p).

1

(2) Cent bovins se r´ epartissent au hasard et ind´ ependamment les uns des autres dans trois

´

etables E

, E

, E

. On suppose que chaque ´ etable peut abriter la totalit´ e du troupeau. Soit X

la variable d´ efinie par le nombre de bovins ayant choisi l’´ etable E

.

(a) D´ eterminer les lois de probabilit´ es de ces trois variables.

(b) D´ eterminer la loi de X

+ X

.

Exercice 7. Soient X et Y deux variables al´ eatoires ind´ ependantes de loi uniforme sur {1, 2, . . . , n}.

(1) Calculer P (X = Y ) et P (X ≥ Y ).

(2) D´ eterminer la loi de X − Y .

Exercice 8. D´ esignons par X une variable al´ eatoire suivant la loi g´ eom´ etrique de param` etre p.

(1) D´ eterminer P (X > k), pour tout k ≥ 1.

(2) En d´ eduire que, pour tous k, n ≥ 1

P (X > k + n|X > k) = P (X > n) . Que peut-on dire de X ?

Exercice 9. Soient X et Y deux variables al´ eatoires d´ efinies sur le mˆ eme espace probabilis´ e ` a valeurs dans {0, 1}, dont la loi jointe est donn´ ee par le tableau suivant :

(x, y) (0, 0) (0, 1) (1, 0) (1, 1) P (X = x, Y = y)

− a a +

b

− 2a (1) Quelles valeurs sont autoris´ ees pour a et b ?

(2) Calculer en fonction de a et b les lois marginales de X et de Y . (3) D´ eterminer la loi de X + Y .

(4) Quelles valeurs de a et b correspondent ` a un couple (X, Y ) de variables ind´ ependantes ?

Exercice 10. Soit X une variable al´ eatoire de loi uniforme sur {1, 2, . . . , n} et Y la variable al´ eatoire telle que la loi de Y sachant X = k est uniforme sur {1, 2, . . . , k} pour tout 1 ≤ k ≤ n.

D´ eterminer la loi de Y .

Exercice 11. Soient X et Y deux variables al´ eatoires ind´ ependantes telles que X suit une loi de Poisson de param` etre λ > 0 et Y suit une loi de Poisson de param` etre µ > 0.

(1) Quelle est la loi de X + Y ?

(2) Soit un entier n ≥ 0. D´ eterminer la loi conditionnelle de X sachant X + Y = n.

Exercice 12. Soit un entier n ≥ 1, et soient X

, . . . , X

des variables al´ eatoires ind´ ependantes de Bernoulli de param` etre p ∈]0, 1[. Consid´ erons S

= X

+ · · · + X

.

(1) Quelle est la loi du couple (X

, S

) ?

(2) Quelle est la loi conditionnelle de X

sachant S

= k ? (3) Quelle est la loi conditionnelle de S

sachant X

= i ?

Exercice 13. Soient X et Y deux variables al´ eatoires ind´ ependantes telles que X + Y est d´ eterministe. Montrer que X et Y sont d´ eterministes.

2

Exercice 14. Soient n ≥ 2 un entier, E

, . . . , E

des ensembles finis non vides et X = (X

, . . . , X

) une variable al´ eatoire de loi uniforme sur E

× E

× · · · × E

. Montrer que les variables al´ eatoires X

, X

, . . . , X

sont ind´ ependantes.

Exercice 15. Soient X, Y deux variables al´ eatoires ind´ ependantes telles que X et Y suivent une loi g´ eom´ etrique de param` etre p ∈]0, 1[. D´ eterminer la loi de min{X, Y }.

Exercice 16. Soit X une variable al´ eatoire ` a valeurs dans N∪{+∞}. Montrer que P (X < ∞) = 1 si et seulement si P (X ≥ n) −→

n→∞

0.

Exercice 17. Soient p ∈]0, 1[ et k ≥ 0. Pour n ≥ 1, consid´ erons X

une variable al´ eatoire de loi binomiale de param` etres n et p. A l’aide d’un couplage, montrer que l’application

f : N −→ N

n 7−→ P (X

≥ k) est croissante.

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