3 – Lois de variables al´eatoires

(1)

Int´egration et probabilit´es

ENS Paris, 2013-2014

TD  — Lois de variables al´eatoires

Notations.

Soit (Ω,F,P), un espace de probabilité. Soit (E,E) un espace mesurable. Une fonionX:Ω→E qui e(F,E)-mesurable eappeléevariable aléatoire, (sous entendu (F,E) mesurable), abrégé en v. a.

On parle de variable al´eatoire r´eelle lorsque (E,E) = (R,B(R)).

Lorsque E = R ou C et X ∈ L^(Ω,F,P), l’espérance de X e par définition son intégrale par rapport àP, et on la noteE[X] :

E[X] = Z

Ω

X(ω)P(dω).

Par d´efinition, laloideX, not´eeP_X, ela mesure image dePparX, autrement dit

∀C∈ E, P_X(C) =P(X∈C).

En particulier, d’après le théorème de transfert, pour toute fonionf :E→[,∞] qui eE-mesurable, Z

Ω

f(X(ω))P(dω) =E[f(X)] = Z

E

f(u)dP_X(u).

Une variable aléatoire réelle e dite gaussienne centrée réduite si sa densité e ^√^_πe⁻^x^^/ par rapport à la mesure de Lebesgue, et une variable aléatoire réelle e dite exponentielle de paramètre λ >si sa densité eλe⁻^λx1x≥par rapport à la mesure de Lebesgue.

1 – Calculs de lois

E

^{xercice 1.} Sur un espace de probabilité (Ω,A,P), on se donne (X, Y) une variable aléatoire à valeurs dansR^.

. On suppose que la loi de (X, Y) e

λµe⁻^λx⁻^µy1^R^₊(x, y)dx dy.

D´eterminer la loi de la variable al´eatoireU= min(X, Y).

. On suppose que la loi de (X, Y) e



πe⁻^x/^1^{x≥}1_[,π](y)dx dy.

D´eterminer la loi de la variable al´eatoire (

√

Xcos(Y),

√

Xsin(Y)).

Pour des queions, demande de précisions ou explications, n’hésitez pas à m’envoyer un mail à igor.kortchemski@ens.fr , ou bien à venir me voir au bureau V.



(2)

. On suppose que la loi de (X, Y) e



πe⁻^x

+y

 dx dy.

Calculer la loi de la variable al´eatoire r´eelle ^X_Y.

3 – Lois de variables al´eatoires

E

^{xercice 2.} ^Soient^X,^Y êt^Zdes variables aléatoires réelles définies sur un espace de probabilité (Ω,A,P).

. On suppose queX=Y p.s (c’e-`a-direPpresque partout). Montrer queXetY ont la mˆeme loi.

Montrer que la r´eciproque efausse.

. On suppose queXetY ont la mˆeme loi.

(a) Soitf :R→Rune fonion borélienne. Montrer que les variables aléatoiresf(X) etf(Y) ont la même loi.

(b) Montrer que les variables aléatoiresXZ etY Zn’ont pas nécessairement la même loi.

E

^{xercice 3.} (Simulation de variables aléatoires.) SoientX une variable aléatoire réelle définie sur un espace de probabilité (Ω,A,P) etFsa fonion de répartition définie parF(t) =P(X≤t) pourt∈R.

. SiF econtinue etriement croissante, et siU eune variable uniforme sur [,], quelle e la loi de la variable al´eatoireF⁻^(U) ?

. Dans le cas général on définitF⁻^, l’inverse continu à droite deFpar, F⁻^(u) = inf{x∈R: F(x)> u}. Quelle ela loi de la variable aléatoireF⁻^(U) ?

Indication.On pourra v´erifier que{F⁻^(U)≤t}=T

n≥{U < F(t+/n)}.

. SoitU une variable aléatoire de loi uniforme sur [,], etXla variable aléatoire définie parX=

−^

pln(U). D´eterminer la loi deX.

E

^{xercice 4.} (Variables exponentielles)

. On dit qu’une variable aléatoire réelle positive vérifie la propriété d’absence de mémoire si pour touss, t >,

P(X > t+s) =P(X > t)P(X > s).

Trouver toutes les variables aléatoires réelle positivesX qui vérifient la propriété d’absence de mémoire.

. Soit X une variable aléatoire exponentielle. Calculer la loi de la variable aléatoire bXc, o ùbxc désigne la partie entière dex.

 – ` A chercher pour la prochaine fois

E

^{xercice 5.} On considère une source lumineuse ponuelle située au point (−,) dans le plan. Soitθune variable aléatoire définie sur un espace de probabilités (Ω,A,P), uniforme sur ]−π/, π/[. On suppose que la source émet un rayon lumineux en direion de l’axe des ordonnées en faisant un angle θavec l’axe des abscisses. Déterminer la loi de l’ordonnée du point d’impadu rayon avec l’axe des ordonnées.



(3)

 – Compl´ements (hors TD)

E

^{xercice 6.} Sur un espace de probabilité (Ω,A,P), on se donne une variable aléatoireN à valeurs dans Rde loi (

√π)⁻^e⁻^x^^/dx. Calculer la loi de la variable al´eatoire/N^.

E

^{xercice 7.} ^Soit^F la fonion de répartition d’une mesure de probablitié µ telle queF(x)∈ {,} pour toutx∈D, o ùDeun ensemble dense deR. Montrer queµeune mesure de Dirac.

E

^{xercice 8.} Sur un espace de probabilité (Ω,A,P), on se donne (X_, . . . , X_n) une variable aléatoire à valeurs dansRⁿde loi

1[,]ⁿ(x_, . . . , x_n)dx_. . . dx_n.

. Conruire, à l’aide des évènements A_σ ={X_σ_ < . . . < X_σ_n} pour σ ∈ S_n, n variables aléatoires Y_, . . . , Y_nsur (Ω,A,P) telles que

Y_(ω)≤. . .≤Y_n(ω) et {Y_(ω), . . . , Y_n(ω)}={X_(ω), . . . , X_n(ω)}

pour presque toutω∈Ω.

. D´eterminer les lois des variables al´eatoires (Y_, . . . , Y_n) et (Y_/Y_, . . . , Y_n−/Y_n).

E

^{xercice 9.} (Pouvoir paranormal moyen)On considère l’expérience de divination suivante. On dispose d’un jeu de cartes diines, d’un manipulateur et d’un devin. Le devin ne peut à aucun moment voir le jeu ou le manipulateur, et doit deviner quelle ela carte se trouvant sur le dessus du paquet.

Il annonce donc une carte au hasard, et le manipulateur retourne silencieusement les cartes les unes après les autres jusqu’à tomber sur la carte annoncée par le devin. Après quoi ce dernier doit deviner la carte qui suit. Il annonce une carte au hasard parmi lesreantes, et le manipulateur continue de retourner les cartes à partir de l’endroit o ù il s’était arrêté. Ainsi de suite jusqu’à ce que tout le paquet soit retourné.

. Donner un espace de probabilité correspondant à cette expérience.

. Montrer que siXeune variable al´eatoire `a valeurs dansNalors

E(X) =X

k≥

P(X≥k).

. Combien de cartes en moyenne le devin trouvera-t-il ?

E

xercice 10. On considère un jeu decartes bien mélangé, posé face caché sur une table. On retourne une à une les cartes jusqu’à trouver une dame. Combien de cartes aura-t-on vu en moyenne ?

Fin

