X – MAP
PC – Lundi avril – Espaces probabilis´es
Igor Kortchemski –igor.kortchemski@cmap.polytechnique.fr
Manipulations des concepts de base
E xercice 1. (Petites queions)
() E-ce que l’ensemble des intervalles ouverts deRforme une tribu ?
() SoientAetBdeux ´ev´enements tels queA⊂B. On suppose queP(A) =; que dire deP(B) ? Et siP(B) =, que dire deP(A) ?
() Si (An)n≥ sont des ´ev´enements tels que P(An) = pour tout n ≥ , montrer que P
S
n≥An
=.
() Si (An)n≥ sont des ´ev´enements tels que P(An) = pour tout n ≥ , montrer que P
T
n≥An
=.
() Vrai ou faux ? SiAetBsont deux ´ev´enements tels queP(A) +P(B) =alorsB=A.
() Vrai ou faux ? SiAetBsont deux ´ev´enements tels queP(A∪B) =P(A) +P(B) alors AetBsont incompatibles.
E xercice 2. (Cylindres)On mod´elise des lancers d’une pi`ece comme suit. On poseΩ= {,}N∗. Pourω= (ωn)n≥∈Ωon interpr`eteωk comme le r´esultat duk-i`eme lancer (pour pile,pour face). Pour toutk≥etu, . . . , uk ∈ {,}on d´efinit l’ensemble
Cu,u,...,uk ={(ωn)n≥:ω=u, . . . , ωk =uk}. () Exprimer (par des unions, interseions et compl´ementaires) les ´ev´enements suivants en fonion d’ensembles de type () :
(i) Bn:on obtient pile pour la premi`ere fois aun-i`eme lancer (ii) A:le r´esultat du second lancer epile
(iii) C :on n’obtient jamais pile
(iv) Dn:on obtient pile au moins deux fois au cours desnpremiers lancers
On admet l’exience d’une plus petite tribuA contenant tous les ensembles de type () et l’exience d’une probabilit´ePsur (Ω,A) telle que
P
Cu,u,...,uk
=
k. ()
Pour des queions, demande d’explications etc., n’h´esitez pas `a m’envoyer un mail.
(v) Calculer les probabilit´es des ´ev´enementsA, Bn, C, Dnpr´ec´edents.
Remarque : On peut prouver que Ω n’e pas d´enombrable, et qu’il n’exie pas de probabilit´ePsur (Ω,P(Ω)) telle que () soit v´erifi´ee pour tous les ensembles de type ().
E xercice 3. (Probabilit´es conditionnelles)On cherche un bicorne dans un meuble conitu´e de sept tiroirs. La probabilit´e qu’il soit effeivement dans ce meuble ep. Sachant qu’on a examin´e les six premiers tiroirs sans succ`es, quelle e la probabilit´e qu’il soit dans le septi`eme ?
E xercice 4. (Ind´ependances) On dispose de quatre livres, un livre de math´ematiques, un livre de biologie, un livre de chimie, et un livre math´ematiques-biologie-chimie. On choisit au hasard, avec la probabilit´e uniforme, un livre parmi les quatre. NotonsM,Bet C les ´ev´enementsle livre choisi traite notamment de math´ematiques(respeivement biologie, chimie). Les ´ev´enementsM,BetC sont-ils ind´ependants ?
Lemmes de Borel–Cantelli
E xercice 5. (Limite sup´erieure d’ensembles)Soit (An)n≥ une suite d’´ev´enements d’un espace probabilisable (Ω,A). On pose
lim sup
n→∞
AnB
\
p≥
[
n≥p
An
.
() Que repr´esente l’´ev´enement lim supn→∞An?
() SiA=R, donner lim supn→∞Andans les trois cas suivants : (i) An= [−/n,+/n]
(ii) An= [−−(−)n,+ (−)n[
(iii) An= pnN, o `u (pn)n≥ e la suite des nombres premiers etpnN el’ensemble des multiples depn,
() Comparer lim supn→∞(An∪Bn) et lim supn→∞(An∩Bn) avec lim supn→∞Anet lim supn→∞Bn. () Que repr´esente l’´ev´enementS
p≥
T
n≥pAn
?
E xercice 6. (Marche al´eatoire vue de l’origine)Soit (Yn)n≥une suite de variables al´eatoires de Bernoulli ind´ependantes d´efinies sur (Ω,A,P) telles queP(Yn=) =petP(Yn=−) =
−pavec< p <etp,/. On consid`ere la marche al´eatoireZn=Y+Y+· · ·+Yn(avec Z=). On noteAn={Zn=}.
() Que repr´esente l’´ev´enement lim supn→∞An?
() Montrer queP(lim supn→∞An) =.
() Lorsquep=/, on peut montrer en utilisant la formule de Stirling que
P(Zn=) ∼
n→∞
√ πn. Peut-on en d´eduire direement queP(lim supn→∞An) =?
E xercice 7. (Piles cons´ecutifs)On lance une infinit´e de fois une pi`ece ´equilibr´ee. Pour n ≥ , on note Ln la plus longue s´equence de piles cons´ecutifs dans les n premiers lancers. Le but de cet exercice e d’´etudier le comportement de Ln quand n → ∞. Par exemple :
n · · · tirage F P P F P P P F P · · · Ln · · ·
Pour mod´eliser ce probl`eme, on consid`ereX, X, . . .des variables al´eatoires ind´ependantes et de mˆeme loi telles queP(X=) =P(X=) =/. Posons :
Ln:= max{k≥; il exiei≤n−ktel queXi+=· · ·=Xi+k =}. () Montrer que pour toutj ∈ {, . . . , n}on aP(Ln≥j)≤n−j+
j ≤ n
j. () Montrer que pour toutj ∈ {, . . . , n}on aP(Ln≤j)≤
−
j
bn/jc
.
() Trouver une suite (an) de nombre r´eels positifs tels que pour tout∈],[, on a
P − < Ln
an <+
!
−→
n→∞ .
() Montrer que pour tout∈],[, on aP L
ann >−, `a partir d’un certain rang
=.
Montrer que pour tout∈],[, on aP L
n
an <+, `a partir d’un certain rang
=.
() En d´eduire queP L
n
an →lorsquen→ ∞
=.
Exercice `a chercher pour le lundi mai
E xercice 8. (Un contre-exemple ?) Soit X une variable al´eatoire g´eom´etrique de pa- ram`etre /. Pour n ≥ , on consid`ere l’´ev`enement An ={X ≥ ln(n)/ln()}. Montrer que P
n≥P(An) =∞et queP(lim supn→∞An) =. Commenter.
Plus appliqu´e
E xercice 9. (Un petit calcul) Combien de fois faut-il, en moyenne, lancer une pi`ece en l’air pour observer une suite d’un nombre impair de piles, suivi d’un face ?
E xercice 10. (Pouvoir paranormal moyen)On consid`ere l’exp´erience de divination sui- vante. On dispose d’un jeu de cartes diines, d’un manipulateur et d’un devin. Le devin ne peut `a aucun moment voir le jeu ou le manipulateur, et doit deviner quelle e la carte se trouvant sur le dessus du paquet. Il annonce donc une carte au hasard, et le manipulateur retourne silencieusement les cartes les unes apr`es les autres jusqu’`a tomber sur la carte annonc´ee par le devin. Apr`es quoi ce dernier doit deviner la carte qui suit. Il annonce une carte au hasard parmi les reantes, et le manipulateur continue de re- tourner les cartes `a partir de l’endroit o `u il s’´etait arrˆet´e. Ainsi de suite jusqu’`a ce que tout le paquet soit retourn´e.
() Donner un espace de probabilit´e correspondant `a cette exp´erience.
() Montrer que siXeune variable al´eatoire `a valeurs dansNalorsE(X) =P
k≥P(X≥ k).
() Combien de cartes en moyenne le devin trouvera-t-il ?
Pour aller plus loin
E xercice 11. (Une application d’un lemme de Borel-Cantelli) On admet l’exience d’une tribu A sur [,] contenant tous les intervalles inclus dans [,] (c’e la tribu bor´elienne) et d’une mesure de probabilit´e Psur ([,],A) telle queP([a, b]) =b−apour tous≤a≤b≤(c’ela mesure de Lebesgue).
Soit >fix´e. Montrer que
P (
x∈[,] :∃un nombre fini de rationnelsp/qavec pgcd(p, q) =tq
x−p q
≤ q+
)!
=.
Ainsi,presque toutxemal approchable par des rationnels `a l’ordre+. Indication.Pour toutq≥, on pourra consid´erer
AqB[,]∩
q
[
p=
"
p q−
q+,p q+
q+
# .
