Enonc´e noG257 (Diophante) Attention aux nids-de-poule !
On trace toutes les cordes qui relient n points pris deux `a deux sur la cir- conf´erence d’un cercle sans que trois d’entre elles soient concourantes hors de leurs extr´emit´es. Elles partagent le cercle en N r´egions disjointes entre elles. Pour n = 2, 3 et 4, on obtient respectivement N = 2, 4 et 8. Pour quelles valeurs de n observe-t-on respectivement N = 16 puis N = 256 et enfin pour la premi`ere foisN >2010 ?
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Je suppose la figure faite avec les cordes trac´ees au crayon. Il y a ccordes, ppoints d’intersection int´erieurs,N r´egions.
Si je gomme une corde qui portep1points, je r´eduis le nombre de r´egions de p1+ 1, car les p1 points d´eterminent sur la corde p1+ 1 segments disjoints dont le gommage r´eunifie 2(p1+ 1) r´egions enp1+ 1 r´egions.
Cette op´eration r´eduit donccde 1,pdep1, etN dep1+1. AinsiN−c−pest un invariant, tout au long du processus o`u je gomme les cordes les unes apr`es les autres. Quand tout est gomm´e, cet invariant vaut 1 (1 r´egion, aucune corde, aucun point int´erieur).
Revenons `a la figure de d´epart. Les cordes sont en nombre Cn2, les points d’intersection int´erieurs sont en bijection avec les Cn4 sous-ensembles de 4 points du bord (car il n’y a pas 3 cordes concourant en un point int´erieur), et on a
N = 1 +c+p= 1 +Cn2+Cn4 = (n4−6n3+ 23n2−18n+ 24)/24.
Pour n = 2 `a 4, N = 2n−1. Cela s’explique parce que (propri´et´e classique du triangle de Pascal)
1 +Cn2+Cn4 =Cn−10 +Cn−11 +Cn−12 +Cn−13 +Cn−14 ,
doncN/2n−1 est la probabilit´e d’obtenir au plus 4 fois pile en tirant n−1 fois `a pile ou face.
Ainsin= 5 donne probabilit´e 1 etN = 16.
Pourn= 10, on a autant de chances, tirant 9 fois `a pile ou face, d’obtenir au plus 4 fois pile ou au plus 4 fois face, soit au moins 5 fois pile ; la probabilit´e pour au plus 4 fois pile est 1/2 =N/29, doncN = 256.
Enfin,n= 16 donneN = 1941, alors que n= 17 donne N = 2517.
Les valeurs dencherch´ees sont donc 5, 10 et 17.
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