D619 – Deux sur trois
On trace trois polygones réguliers, respectivement un pentadécagone (15 côtés), un heptadécagone (17 côtés) et un octadécagone (18 côtés). Deux sur trois peuvent être tracés avec une règle et un compas. Lesquels ? Nota : on ne demande pas le tracé des deux polygones.
On numérote les sommets de chaque polygone de 1 à n (n = 15,17 et 18) dans le sens
trigonométrique et à l’intérieur de chacun d’eux on trace trois cordes dont les extrémités sont désignés par les numéros des sommets (a,b) à savoir (1,6), (2,8) et (3,11) dans le
pentadécagone, (1,7), (3,16) et (4,17) dans l’heptadécagone et enfin (1,8), (5,14) et (6,16) dans l’octadécagone. Les trois figures ci-après font croire que les trois cordes sont
concourantes dans chacun des trois polygones. Dans deux figures sur trois, c’est faux.
Lesquelles ? Justifier votre réponse.
Solution proposée par Patrick Gordon
1) Première question
D'après le théorème de Gauss-Wantzel, un polygone à n côtés est constructible à la règle et au compas si et seulement si n est le produit d'une puissance de 2 et de k nombres de Fermat premiers tous différents (source Wikipedia). Or 3, 5 et 17 sont des nombres de Fermat. Donc, comme 15 = 3 × 5 et 18 = 2 × 3 × 3, seuls le pentadécagone et l'heptadécagone sont constructibles à la règle et au compas.
2) Deuxième question
Pour déterminer si trois droites sont concourantes, on utilisera le théorème de Ceva.
On considérera tout d'abord le pentadécagone et on appellera A B C une extrémité de chacune des cordes et D E F les extrémités opposées respectives. Les cordes sont donc AD, BE, CF. Voir la figure sur le pentadécagone, pour fixer les idées. Par construction, les côtés du triangle ABC ne sont aucune des cordes de départ, mais celles-ci coupent respectivement AC en B' (sur la corde BE), BA en C' et CB en A' (ces deux derniers points hors figure).
On sait par ailleurs que B' partage AC dans le rapport des côtés BA et BC que multiplie le rapport des sinus des angles ABB' et CBB' (c'est une généralisation de la propriété bien connue de la bissectrice, qui se démontre par la même méthode).
Ainsi :
B'A / B'C = BA / BC × sin (ABB') / sin (CBB')
Et de même pour les deux autres rapports, par permutation circulaire sur ABC d'une part, sur DEF d'autre part.
Dans le produit de Ceva, les rapports des côtés vont s'éliminer. Ne resteront que 6 sinus. On remarquera que BB' n'est autre que BE et qu'ainsi les 6 angles concernés sont tous des angles inscrits donc tous des multiples de π/15.
Il suffit dès lors de compter les quinzièmes de cercle pour former le produit de Ceva.
Pour le pentadécagone, on trouve :
P = [sin (5π/15) × sin (5π/15) × sin (π/15)] / [sin (6π/15) × sin (2π/15) × sin (2π/15)] = 0,99107.
Les trois cordes AD, BE, CF du pentadécagone ne sont donc pas concourantes.
On procède de même pour l'heptadécagone et l'on trouve :
P = [sin (10π/17) × sin (12π/17) × sin (2π/17)] / [sin (3π/17) × sin (9π/17) × sin (3π/17)] = 1,00479.
Les trois cordes AD, BE, CF de l'heptadécagone ne sont donc pas concourantes.
On procède de même pour l'octadécagone et l'on trouve :
P = [sin (8π/18) × sin (3π/18) × sin (3π/18)] / [sin (5π/18) × sin (2π/18) × sin (7π/18)] = 1.
Les trois cordes AD, BE, CF de l'octadécagone sont donc concourantes.
