D1925. Trois cercles et deux tangentes On trace successivement :
- deux cercles de centres O1 et O2 tangents extérieurement en un point I, - la tangente (T) en I à ces deux cercles,
- une tangente extérieure (T’) commune à ces deux cercles,
- un cercle de centre O de sorte que les deux cercles de centres O1 et O2 lui sont tangents
intérieurement comme l’illustre la figure ci-après. Le cercle de centre O coupe les tangentes (T) et (T’) en A,A’,B et C. Prouver que le point I est le centre du cercle inscrit du triangle ABC.
Dans l'inversion de pôle A', de puissance A'I² , les cercles O1 et O2 sont invariants tandis que la droite T' et le cercle O s'échangent. Leurs points d'intersection B et C sont donc invariants. Il en résulte A'B = A'I = A'C. On peut tracer le cercle de centre A' qui passe par B, I, C, et recoupe la droite T en J. Sur le cercle O les arcs BA' et A'C sont égaux et les angles inscrits BAA' et A'AC qui les interceptent sont égaux. Donc I est sur la bissectrice de BAC.
Soit K le point T∩T'. L'inversion échange les points K et A. Les égalités A'J² = A'I² = A'K. A'A montrent que la division (A K I J ) est harmonique. Le faisceau des droites ( BA,BK,BI,BJ) est harmonique. De plus BI et BJ sont perpendiculaires, donc ce sont les deux bissectrices de l'angle KBA. Dans le triangle ABC, les bissectrices des angles  et C se coupent en I ,
Donc le point I est le centre du cercle inscrit du triangle ABC.
Voir la remarque page suivante.
Les mêmes raisonnements s'appliquent aussi à la 3ème tangente commune T'' aux cercles O1 et O2 qui coupe en B' et C' le cercle O . L'inversion de pôle A, de puissance AI² laisse invariants les cercles O1 et O2, et échange le cercle O et la droite T''. Les points B' et C' sont invariants. Le point A est milieu de l'arc B'C' du cercle O. etc..
Le cercle de centre I inscrit dans le triangle ABC est aussi inscrit dans le triangle A'B'C'.
