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D1831 - Deux cercles tangents

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Academic year: 2022

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On considère un point M à l'intérieur d'un triangle ABC. La tangente en M au cercle circonscrit au triangle BCM rencontre la droite AB au point D et la droite AC au point E. Les cercles circonscrits aux triangles BDM et CEM se rencontrent en un deuxième point R autre que M. Démontrer que le cercle circonscrit au triangle DER est tangent au cercle circonscrit au triangle ABC.

Pour toute droite DE passant par M, R appartient au cercle circonscrit de ABC : en effet, on a les égalités angulaires : BDM+BRM=π, MEC+MRC=π :

BRC=BRM+RMC=2π-BDM-MEC=ABC+BCA=π-CAB ; de plus DRE=DRM+MRE=DBM+MCE=BMC-BAC

De même, si DE recoupe le cercle circonscrit à BMC en N, les cercles circonscrits à BDN et CEN se coupent au point S, également sur le cercle circonscrit à ABC ; et DSE=BNC-BAC.

Or BNC=BMC, donc DRE=DSE : les points DESR sont cocycliques, de même que BACRS : quand N tend vers M, S tend vers R et le cercle DER est tangent au cercle ABC

D1831 - Deux cercles tangents

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