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1831. Deux cercles tangents
On considère un point M à l'intérieur d'un triangle ABC.La tangente en M au cercle circonscrit au triangle BCM rencontre la droite AB au point D et la droite AC au point E. Les cercles circonscrits aux triangles BDM et CEM se rencontrent en un deuxième point R autre que M. Démontrer que le cercle circonscrit au triangle DER est tangent au cercle circonscrit au triangle ABC.
Solution proposée par Maurice Bauval :
Modulo Π :
(RC,RB)=(RC,RM)+(RM,RB) = (EC,EM)+(DM,DB) (angles inscrits interceptant des arcs égaux) mais droite EM = droite DM, droite EC = droite AC, et droite DB = droite AB.
Donc (RC,RB) = (EC,DB) = (AC,AB) et R est sur le cercle circonscrit au triangle ABC.
Soit F l'intersection des droites BM et ER.
(BM,ER)= (BM,MD)+(ME,ER)
(BM,MD)=(CB,CM) car ils interceptent l'arc BM du cercle BMC (ME,ER)=(CM,CR) car ils interceptent l'arc MR du cercle CEMR Donc (BM,ER)=(CB,CM)+(CM,CR)=(CB,CR)
(FB,FR)=(CB,CR) et F est sur le cercle circonscrit au triangle ABC.
Soit T1 la tangente en R au cercle (BACR), T2 la tangente en R au cercle (DER), et Δ la droite DME.
(T1,BR) = (CR,CB) car ils interceptent l'arc RB du cercle (ABCR).
(RB,RD) = (MB,MD) = (MB,Δ) car ils interceptent l'arc BD du cercle (ABDR).
(RD,T2) = (ED,ER) = (Δ ,ER) car ils interceptent l'arc DR du cercle (RDE).
(T1,T2) = (T1,RB)+(RB,RD)+(RD,T2) = (CR,CB)+(MB,Δ)+(Δ,ER) = (CR,CB)+(MB,ER) (T1,T2) =(CR,CB)+(CB,CR) = 0
Les droites T1 et T2 sont confondues.
Les cercles circonscrits aux triangles ABC et DER sont tangents en R.
