D1848‒ La saga des dichotomies (10ième et 11ième épisodes) [*à la main]
10ième épisode
Soit un triangle ABC. Le cercle passant par B et tangent en A au côté AC coupe le cercle passant par C et tangent en A au côté AB en un deuxième point d'intersection D autre que A. La droite AD a un second point d'intersection E avec le cercle circonscrit au trinagle ABC. Démontrer que D est au milieu de AE.
Solution
Grâce à des relations d'angles ABD =
CAD = CBE et BAD = ACD =
BCE, on prouve que les triangles ABD et CBD d'une part et ABC,EDC et DBE d'autre part sont semblables entre eux.
Il en résulte AD² = BD.CD et DE²=BD.CD.
D'où AD² = DE² ==> AD = DE
11ième épisode
Sur les côtés AB et AC d’un triangle acutangle ABC on trace les points P et Q qui sont respectivement les symétriques des pieds des hauteurs issues de C et de B par rapport aux milieux de ces côtés.
Démontrer que la droite passant par A et le centre O du cercle circonscrit au triangle ABC partage le segment PQ en son milieu.
Solution
Soient B’ et C’ les pieds des hauteurs issues de B et de C, M et N les milieux des côtés AC et AB, β et γ les angles en B et C.
Le point I est à l’intersection de la droite [AO] et de la droite [PQ].
Par construction AQ = BC’ = BC.cos(β) et AP = CB’ = BC.cos(γ) Par ailleurs OAB = 90° ‒ γ et OAC = 90° ‒ β.
On pose AIP = θ
D’après la loi des sinus dans les triangles AIP et AIQ, on a les deux relations :
IQ/cos(γ) = AQ/sin(180° ‒ θ) = BC.cos(β)/sin(θ) et IP/cos(β) = AP/sin(θ) = BC.cos(γ)/sin(θ).
D’où IP = IQ = cos(β).cos(γ)/sin(θ). C.q.f.d.
