Enoncé D1813 (Diophante) Un encadrement
Soit un triangle ABC acutangle. Les points A0, B0 et C0 sont les symé- triques des sommets A, B etC par rapport aux côtésBC, CAetAB. On désigne par S l’aire du triangle ABC etS0 celle du triangleA0B0C0. Trouver la plus grande borne inférieureaet la plus petite borne supérieure b du rapportS0/S.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Je travaille en coordonnées barycentriques de base A, B, C. Les milieux D, E, F des segments AA0, BB0, CC0 sont les pieds des hauteurs et ont pour coordonnées
D(0,sinBcosC/sinA,sinCcosB/sinA), E(sinAcosC/sinB,0,sinCcosA/sinB), F(sinAcosB/sinC,sinBcosA/sinC,0).
D’où les coordonnées de A0, B0, C0
A0(−1,2 sinBcosC/sinA,2 sinCcosB/sinA), B0(2 sinAcosC/sinB,−1,2 sinCcosA/sinB), C0(2 sinAcosB/sinC,2 sinBcosA/sinC,−1).
Le rapport S0/S est égal au déterminant des coordonnées.
Multipliant la première ligne par sinA, la deuxième par sinB, la troisième par sinC, puis divisant la première colonne par sinA, la deuxième par sinB, la troisième par sinC, on obtient
S0 S =
−1 2 cosC 2 cosB 2 cosC −1 2 cosA 2 cosB 2 cosA −1
,
et en développant−1 + 16 cosAcosBcosC+ 4 cos2A+ 4 cos2B+ 4 cos2C.
CmmeA+B+C=π,
4 cos2A+ 4 cos2B+ 4 cos2C = 4 cos2(B+C) + 4 + 2 cos(2B) + 2 cos(2C) =
= 4 + 4 cos2(B+C) + 4 cos(B+C) cos(B−C) =
= 4 + 8 cos(B+C) cosBcosC= 4−8 cosAcosBcosC.
Ainsi S0/S = 3 + 8 cosAcosBcosC, ce qui entraîne S0/S > 3 = a pour tout triangle acutangle.
On peut s’approcher de cette borne autant qu’on veut, en prenant un angle voisin deπ/2 par valeurs inférieures. Pour tous les triangles rectangles (et eux seulement)S0 = 3S.
Doublant la dernière expression deS0/S et en retranchant la première, on obtient
S0/S = 7−4 cos2A−4 cos2B−4 cos2C= 4 sin2A+ 4 sin2B+ 4 sin2C−5.
AvecO centre etR rayon du cercle circonscrit, R2(S0/S+ 5) =BC2+CA2+AB2.
SoitG le centre de gravité du triangleABC, on a
3R2 =OA2+OB2+OC2= 3OG2+GA2+GB2+GC2.
GAest les 2/3 de la médiane issue deA, d’où par la formule de la médiane AB2 +AC2 = 9GA2/2 +BC2/2, et en ajoutant les relations similaires avec GB etGC,
2(BC2+CA2+AB2) = (BC2+CA2+AB2)/2 + 9(GA2+GB2+GC2)/2.
On en tire
R2(S0/S+5) =BC2+CA2+AB2 = 3(GA2+GB2+GC2) = 9(R2−OG2).
FinalementS0/S = 4−9OG2/R2.
La plus grande valeur de S0/S est b = 4 et n’est atteinte que par le triangle équilatéral, où centre de gravité et centre du cercle circonscrit se confondent.
