Enoncé D1836 (Diophante) Aux couleurs belges
Soit un triangle acutangle ABC (A,B etC dans le sens trigonométrique) tel que AB =c < BC =a < CA=b. Les points O et I sont respective- ment le centre du cercle circonscrit et le centre du cercle inscrit.
On trace :
– les deux cercles de centre A et de rayons b etc qui coupent respective- ment la droite AB au point P (B entre A etP) et la droite CA au point Q (Q entreA etC),
– les deux cercles de centre B et de rayons c eta qui coupent respective- ment la droite BC au pointR (R entre B et C) et la droite AB au point S (A entreB etS),
– les deux cercles de centre C et de rayons aet b qui coupent respective- ment la droite CAau point T (T entre A etC) et la droite BC au point U (B entreU etC).
Q1 Démontrer que les trois droites aux couleurs belges, P U en noir, ST en jaune et QRen rouge sont parallèles entre elles et qu’elles sont perpen- diculaires à la droiteOI.
Q2 On suppose queOI =QR. Déterminer l’angle en C.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Je travaille en coordonnées barycentriques de base A, B, C. Le par- tage des côtés par les 6 cercles de l’énoncé conduit aux coordonnées P(1−b/c, b/c,0), Q(1−c/b,0, c/b), R(0,1−c/a, c/a),S(a/c,1−a/c,0), T(a/b,0,1−a/b), U(0, b/a,1/b/a).
Question 1
Tout vecteur du plan admet une décomposition y. ~AB+z. ~AC =z. ~BC+x. ~BA=x. ~CA+y. ~CB,
symbolisée par le triplet (x, y, z) vérifiant x+y+z= 0.
Les coordonnées deP, Q, R, S, T, U conduisent au même triplet (1/b−1/c,1/c−1/a,1/a−1/b) pour les trois vecteurs égaux ST /a~ =U P /b~ =QR/c~ =V~.
Il en résulte que les trois droites supportST, U P, QRsont parallèles.
Soient (x, y, z) les paramètres de la direction perpendiculaire (x+y+z= 0) ; ils annulent le produit scalaire parV~
(y. ~AB+z. ~AC).((1/c−1/a). ~AB+ (1/a−1/b). ~AC)
=y((1/c−1/a)c2+ (1/a−1/b)bccosA) + +z((1/c−1/a)bccosA+ (1/a−1/b)b2)
=cy(1−cosB−cosA) +bz(cosA+ cosC−1) = 0.
Compte tenu de x+y+z= 0, on en tire x
a(cosB+ cosC−1) = y
b(cosC+ cosA−1) =
= z
c(cosA+ cosB−1) (∗)
Par le théorème de Lazare Carnot cosA+ cosB+ cosC−1 =r/R, rapport des rayons du cercle inscrit et du cercle circonscrit. Les dénominateurs de (∗) sont ainsi
a(r/R−cosA),b(r/R−cosB), c(r/R−cosC) ; leur produit parR/2 est respectivement
σ(IBC)−σ(OBC), σ(ICA)−σ(OCA), σ(IAB)−σ(OAB), en notant σ(•) l’aire d’un triangle. Rapportées à σ(ABC), ce sont les composantes du vecteur OI, montrant que celui-ci est perpendiculaire aux parallèles P U, ST, QR.
Remarque. Les propriétés de parallélisme, à angle droit avecOI, persistent si les longueurs de côtés ne respectent pas les inégalités de l’énoncé, qui n’apparaissent pas dans les calculs précédents. Ces inégalités ont seulement pour effet de mettre les couleurs dans le bon ordre belge.
Question 2
La formule du produit scalaire parV~ établie à la question 1 fournit QR2/c2 =V2=
=c(1/c−1/a)(1−cosB−cosA) +b(1/a−1/b)(cosA+ cosC−1) et comme b+c
a = sinB+ sinC
sinA = cosB+ cosC 1−cosA , QR2/c2 = 1−2(cosA+ cosB+ cosC−1)
= 1−2r/R (théorème de Lazare Carnot),
=OI2/R2 (formule d’Euler).
La condition OI = QR équivaut à c = R, d’où sinC = 1/2 ; l’ordre croissant C < A < B des angles exclut C = 5π/6. La seule solution est C=π/6.
