Enoncé D1855 (Diophante) Une affaire d’angles
Soient ABC un triangle A-rectangle tel que 6 CBA = 20°, (O) le cercle circonscrit à ABC,F le point de [AB] tel que 6 ACF = 30°, (U) le cercle tangent à (O) enC, passant parF,Ele second point d’intersection de (U) avec (CA). Démontrer que (BE) est la B-bissectrice intérieure deABC. Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
6 ACB= 90−20 = 70°.
Le centreO du cercle circonscrit àABC est le milieu deBC.
La tangente commune enC à (O) et à (U) est la perpendiculaire àOC et U C, ce qui place U sur BC. Ainsi6 U CF = 70−30 = 40°.
Le triangleU CF est isocèle, donc 6 U F C =6 U CF = 40°, puis6 F U B = 40 + 40 = 80° et6 U F B = 180−80−20 = 80° =6 F U B.
Le triangleBU F est isocèle,BU =BF, la médiatrice du segmentF U est bissectice de l’angle6 F BU.
U C = U E, le triangle U CE est isocèle, 6 U EC = 6 U EC = 70°, puis
6 BU E= 70 + 70 = 140°, 6 F U E= 140−80 = 60°.
U E = U F, le triangle U EF est isocèle avec un angle de 60° en U, il est donc équilatéral et la médiatrice du segmentU F passe parE.
La droiteBE est cette médiatrice, bissectrice de l’angle6 ABC, CQFD.
