2) Supposons que le triangle ABC soit rectangle en B

12.14 Vu que l’ordonnée du point C égale5, le point C est de la formeC(x; 5).

Remarquons aussi qu’un triangle rectangle est isocèle si et seulement si ses cathètes sont égaux.

−−−−→

AB =

5−1 2−4

= 4

−2

−−−−→

AC =

x−1 5−4

=

x−1 1

−−−−→

BC =

x−5 5−2

=

x−5 3

1) Supposons que le triangle ABC soit rectangle en A.

0 =⁻AB^−−−→·⁻AC =^−−−→ 4

−2

·

x−1 1

= 4 (x−1)−2 = 4x−6 d’où l’on tire x= ⁶4 = ³2 c’est-à-dire C(³2; 5).

k⁻AB^−−−→k=

4

−2

= 2

2

−1

=|2|

2

−1

= 2p

2²+ (−1)² =

= 2√

4 + 1 = 2√ 5 k⁻AC^−−−→k=

3 2 −1 5−4

=

1 2

1

= q

1 2

²

+ 1² =q

1

4 + 1 =q

5 4 = ^√2⁵

Le triangle ABC n’est donc pas isocèle, puisque k⁻AB^−−−→k 6=k⁻AC^−−−→k. 2) Supposons que le triangle ABC soit rectangle en B.

0 =⁻AB^−−−→·⁻BC =^−−−→ 4

−2

·

x−5 3

= 4 (x−5)−6 = 4x−26 On en déduit x= ²⁶4 = ¹³2 et par conséquentC(¹³2 ; 5).

k⁻BC^−−−→k=

13 2 −5 5−2

=

3 2

3

=

3 2

1 2

=|³2|

1 2

= ³₂√

1²+ 2² = ³₂√ 5 Commek⁻AB^−−−→k 6=k⁻BC^−−−→k, le triangle ABC n’est pas isocèle.

3) Supposons que le triangle ABC soit rectangle en C.

0 =⁻AC^−−−→·⁻BC =^−−−→

x−1 1

·

x−5 3

= (x−1) (x−5) + 3 = x²−5x−x+ 5 + 3 = x²−6x+ 8 = (x−2) (x−4)

Il y a donc deux possibilités : (a) x= 2 d’où suit C(2 ; 5).

k⁻AC^−−−→k=

2−1 5−4

=

1 1

=√

1²+ 1² =√ 2 k⁻BC^−−−→k=

2−5 5−2

=

−3 3

= 3

−1 1

=|3|

−1 1

=

= 3√

1²+ 1² = 3√ 2

Étant donné que k⁻AC^−−−→k 6=k⁻BC^−−−→k, le triangle ABC n’est pas isocèle.

Géométrie : produit scalaire Corrigé 12.14

(b) x= 4 impliqueC(4 ; 5).

k⁻AC^−−−→k=

4−1 5−4

=

3 1

=√

3²+ 1² =√ 10 k⁻BC^−−−→k=

4−5 5−2

=

−1 3

=p

(−1)² + 3² =√ 10 Au vu de l’égalité k⁻AC^−−−→k=k⁻BC^−−−→k, le triangleABC est isocèle.

Géométrie : produit scalaire Corrigé 12.14