Enoncé D1823 (Diophante) Une harmonieuse configuration Soit un triangle acutangle

Enoncé D1823 (Diophante) Une harmonieuse configuration

Soit un triangle acutangleABC ayantH pour orthocentre etDle pied de la hauteur issue de A sur le côté BC. Un cercle passant par les pointsB etC et le cercle de diamètreAH se coupent en deux points distinctsX et Y. Le pointDse projette enK sur la droiteXY. Démontrer que la droite DK est la bissectrice de l’angle BKC.

Solution de Jean Moreau de Saint-Martin

Si AB = AC, la médiatrice de BC est axe de symétrie de la figure et contientDetK, car XY est parallèle àBC; la propriété découle alors de ce queBKC est isocèle. Supposons doncAB6=AC.

Le cercle de diamètreBCrecoupeABetAC enF etE, pieds des hauteurs du triangle, qui appartiennent aussi au cercle de diamètre AH; ainsi la droiteEF, qui coupeBC en Z, est l’axe radical des deux cercles.

SoitX un point du cercle de diamètreAH. La droiteZX recoupe le cercle (BCX) en Y⁰ tel que ZX.ZY⁰ = ZB.ZC =ZE.ZF, ce qui montre que Y⁰ appartient aussi au cercle de diamètreAH et est le pointY de l’énoncé associé à X : toutes les droites XY de l’énoncé passent par Z.

Par rapport à la conique constituée par les droites AB et AC (ou équi- valemment au cercle de diamètreBC), les sécantes ZBC et ZEF déter- minent AH comme polaire de Z; de ce fait la division (Z, D, B, C) est harmonique. De même pour le faisceau des droites (KZ, KD, KB, KC) ; les deux premières étant perpendiculaires sont les bissectrices des deux dernières, CQFD.