D1838 − La saga des dichotomies (8ième épisode) [**** à la main]
Soient un triangle scalène ABC, son cercle circonscrit (Γ) et un point D sur l'arc de cercle (BC) de (Γ) qui ne contient pas A.On prolonge le côté AB d'un segment BE = BD et le côté AC d'un segment CF = CD. Le cercle circonscrit au triangle BDE coupe le segment EF en un deuxième point L. Démontrer que le cercle circonscrit au triangle BCL coupe EF en un point M autre que L qui est le milieu de EF.
Solution proposée par Bernard Vignes
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On démontre dans un premier temps que l'angleBLC est droit.
Par construction, les points B,D,L et E sont cocycliques et les triangles BDE et CDF sont isocèles.
Donc BDE = BLE = BED = BLD.D'où BLD = ELD/2.
Par ailleurs ELD = ABD = 180° − ACD = DCF. Les points C,D,L et F sont eux aussi cocycliques. D'où CDF = CLF = CFD = CLD, soit: CLD = FLD/2.
Il en résulte que BLC = BLD + CLD = (ELD + FLD)/2 = 180°/2 = 90°
Le cercle circonscrit au triangle rectangle BCL admet l'hypoténuse BC comme diamètre. Il coupe donc le côté EF du triangle AEF en un point M tel que BMC est un angle droit.
On trace le point B' symétrique de B par rapport à M.CM étant perpendiculaire à BB',on a CB = CB'.
Les deux triangles CBD et CB'F sont isométriques.
En effet, on a les relations d'angles:
BCB' = 180° − 2CBM, CBM = CLM = CLF = CDF, DCF = 180° − 2CDF.
D'où BCB '= DCF qui entraine BDC = B'CF.
Par ailleurs on a les égalités des côtés CB = CB' et CD = CF.
Il en découle BD = B'F et CFB' = BDC = 180° − BAC. Les droites [AE] et [B'F] sont
parallèles. Comme BE = BD = B'F, BEB'F est un parallélogramme et M est le milieu de la diagonale EF.
C.q.f.d.
