D1987. Une variante olympique
Soit ABC un triangle de cercle circonscrit (Γ). Un cercle (γ) de centre A rencontre le côté BC aux points D et E de sorte que B,D,E et C sont distincts et dans cet ordre sur la droite (BC). On note F et G les points d’intersection de (γ) avec (Γ) de sorte que A,F,B,C et G sont dans cet ordre sur (Γ). Soit K le second point d’intersection du cercle circonscrit au triangle BDF avec le côté AB. Soit L le second point d’intersection du cercle circonscrit au triangle CGE avec le côté CA. On suppose que les droites FK et GL ne sont pas confondues et qu’elles rencontrent respectivement le cercle (Γ) aux points S et T.
Prouver que :
Q1 : les angles GDK et FEL sont droits.
Q2: les segments AS et AT sont égaux.
Source : ce problème est une variante du problème n°4 des IMO 2015 proposée par l’auteur lui- même.
Q1) Angle GDK = GDF – KDF
L'angle inscrit GDF qui intercepte l'arc GF du cercle (γ) vaut 180° – 1/2 GAF.
Les angles inscrits KDF et KBF qui interceptent l'arc KF du cercle FBDK sont égaux.
KDF = KBF = ABF et ABF = AGF comme angles inscrits interceptant l'arc AF de (Γ).
KDF = AGF
Donc GDK = 180° – 1/2 GAF – AGF = 180° - 1/2(GÂF + 2*AGF) Or dans le triangle isocèle GAF les angles vérifient : GÂF + 2* AGF = 180°.
Finalement GDK = 180° – 1/2(180°) = 90°.
La même démonstration en permutant les lettres B ↔ C, D ↔ E, F ↔ G, K ↔ L aboutit à : FEL = 180° – 1/2(180°) = 90°.
Q2) Le triangle FAG est isocèle. FG est parallèle à la tangente Δ en A à (Γ). Si on parvient à prouver que (FG,FS) + (GF,GT) = 0, il en résultera des égalités d'arcs de cercle de (Γ) : GS=TF et SA=AT, puis l'égalité des cordes AS et AT.
(FG,FS)=(FG,FK)=(FG,FD)+(FD,FK)=(FG,FD)+(BD,BK) [car BDFK cocycliques]
(FG,FS)=(FG,FD)+(BC,BA)
(GF,GT)=(GF,GL)=(GF,BC)+(BC,GE)+(GE,GL) = (GF,BC)+(FD,FG)+(CB,CA) car à la fois (BC,GE)=(FD,FG) [car FDEG cocycliques] et (GE,GL)=(CB,CA) [car GLEC cocycliques].
(FG,FS)+(GF,GT) = (BC,BA)+(GF,BC)+(CB,CA) = (GF,BA)+(CB,CA) = (Δ,BA)+(CB,CA)
Or (Δ,BA) et (CB,CA) interceptent les arcs orientés AB et BA du cercle (Γ) : leur somme est nulle.
(FG,FS)+(GF,GT) = 0, donc les segments AS et AT sont égaux.
