Enoncé D1986 (Diophante) L’orth-au-centre Démontrer que le rayon du cercle (Γ) circonscrit à un triangle ABC est égal au rayon du cercle exinscrit touchant BC en A

Enoncé D1986 (Diophante) L’orth-au-centre

Démontrer que le rayon du cercle (Γ) circonscrit à un triangle ABC est égal au rayon du cercle exinscrit touchant BC en A⁰, CA en B⁰ et AB en C⁰ si et seulement si l’orthocentre du triangle A⁰B⁰C⁰ est au centre du cercle (Γ).

Solution de Jean Moreau de Saint-Martin

Je prends l’exemple du cercle exinscrit dans l’angle A, de centre J et de rayonr_A; le cercle circonscrit (Γ) a pour centreO et pour rayonR. Selon une propriété classique, rA/R= 1−cosA+ cosB+ cosC.

Dans les triangles isocèles AC⁰B⁰, BC⁰A⁰, CA⁰B⁰, on a les égalités angu- laires

(C⁰B⁰, C⁰A) = (π−A)/2 = (B⁰A, B⁰C⁰), (C⁰A⁰, C⁰B) =B/2 = (A⁰B, A⁰C⁰), (A⁰B⁰, A⁰C) =C/2 = (B⁰C, B⁰A⁰) puis (B⁰A⁰, A⁰C⁰) =B/2 +C/2 =π/2−A/2.

Ainsi (C⁰B⁰, C⁰A⁰) = (π−A)/2−B/2 =C/2,

puis (BC, C⁰B⁰) = (BA⁰, C⁰A⁰)−(C⁰B⁰, C⁰A⁰) = (B−C)/2, et tan(BC, C⁰B⁰) = (sinB−sinC)/(cosB+ cosC).

OA⁰ a pour composantes, surBC et la perpendiculaire, R(sinB−sinC) etRcosA, d’où tan(OA⁰, BC) = cosA/(sinB−sinC).

Si r_A = R, cosA = cosB + cosC, tan(OA⁰, BC) tan(BC, C⁰B⁰) = 1 et (OA⁰, C⁰B⁰) = π/2. Donc O appartient à la hauteur du triangle A⁰B⁰C⁰ abaissée de A⁰. Réciproquement, l’appartenance de O à cette hauteur en- traîne cosA= cosB+ cosC et l’égalité des rayons.

B⁰O a pour composantes, sur CA et la perpendiculaire, R(sinA+ sinC) etRcosB, d’où tan(B⁰A, B⁰O) = cosB/(sinA+ sinC). Si rA=R, tan(B⁰A, B⁰O) = (cosA−cosC)/(sinA+ sinC) = tan(C/2−A/2).

(B⁰O, A⁰C⁰) = (B⁰O, B⁰A) + (B⁰A, B⁰A⁰) + (B⁰A⁰, A⁰C⁰) =

=A/2−C/2 +C/2 +π/2−A/2 =π/2, montrant que O appartient à la hauteur abaissée deB⁰, et réciproquement.

De même, échangeant les rôles deB etC, pour la hauteur abaissée deC⁰. Dès lors queO appartient à une des hauteurs, il y a égalité des rayons et O est l’orthocentre du triangle A⁰B⁰C⁰.

La propriété vaut de même pour les autres cercles exinscrits.