Enoncé D1986 (Diophante) L’orth-au-centre
Démontrer que le rayon du cercle (Γ) circonscrit à un triangle ABC est égal au rayon du cercle exinscrit touchant BC en A0, CA en B0 et AB en C0 si et seulement si l’orthocentre du triangle A0B0C0 est au centre du cercle (Γ).
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Je prends l’exemple du cercle exinscrit dans l’angle A, de centre J et de rayonrA; le cercle circonscrit (Γ) a pour centreO et pour rayonR. Selon une propriété classique, rA/R= 1−cosA+ cosB+ cosC.
Dans les triangles isocèles AC0B0, BC0A0, CA0B0, on a les égalités angu- laires
(C0B0, C0A) = (π−A)/2 = (B0A, B0C0), (C0A0, C0B) =B/2 = (A0B, A0C0), (A0B0, A0C) =C/2 = (B0C, B0A0) puis (B0A0, A0C0) =B/2 +C/2 =π/2−A/2.
Ainsi (C0B0, C0A0) = (π−A)/2−B/2 =C/2,
puis (BC, C0B0) = (BA0, C0A0)−(C0B0, C0A0) = (B−C)/2, et tan(BC, C0B0) = (sinB−sinC)/(cosB+ cosC).
OA0 a pour composantes, surBC et la perpendiculaire, R(sinB−sinC) etRcosA, d’où tan(OA0, BC) = cosA/(sinB−sinC).
Si rA = R, cosA = cosB + cosC, tan(OA0, BC) tan(BC, C0B0) = 1 et (OA0, C0B0) = π/2. Donc O appartient à la hauteur du triangle A0B0C0 abaissée de A0. Réciproquement, l’appartenance de O à cette hauteur en- traîne cosA= cosB+ cosC et l’égalité des rayons.
B0O a pour composantes, sur CA et la perpendiculaire, R(sinA+ sinC) etRcosB, d’où tan(B0A, B0O) = cosB/(sinA+ sinC). Si rA=R, tan(B0A, B0O) = (cosA−cosC)/(sinA+ sinC) = tan(C/2−A/2).
(B0O, A0C0) = (B0O, B0A) + (B0A, B0A0) + (B0A0, A0C0) =
=A/2−C/2 +C/2 +π/2−A/2 =π/2, montrant que O appartient à la hauteur abaissée deB0, et réciproquement.
De même, échangeant les rôles deB etC, pour la hauteur abaissée deC0. Dès lors queO appartient à une des hauteurs, il y a égalité des rayons et O est l’orthocentre du triangle A0B0C0.
La propriété vaut de même pour les autres cercles exinscrits.