Enoncé D1961 (Diophante) Une sertissure
Un cercle Γ1 de centreO1 est tangent intérieurement en un pointM à un cercle Γ de centre O. Soit un pointO2 de la circonférence de Γ1. La demi- droiteOO2coupe le cercle Γ en un pointN. Le cercle Γ2de centreO2et de rayonO2N coupe le cercle Γ1 en deux pointsP etQ. La droiteP Qcoupe le cercle Γ en deux points A etB.M A etM B coupent respectivement le cercleΓ1enC etDtandis queN AetN Bcoupent respectivement le cercle Γ2 en E et F. Démontrer que le cercle Γ2 est serti dans le quadrilatère CDF E dont trois côtés lui sont tangents.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Je note R, R1, R2 les rayons des cercles Γ,Γ1,Γ2. Γ est transformé en Γ1 par l’homothétieH1 de centreM et de rapportR1/R; Γ est transformé en Γ2par l’homothétieH2de centreN et de rapportR2/R; Γ1 est transformé en Γ2 par une homothétie de rapport R2/R1 et de centreH appartenant à la droite M N, ainsi qu’à la droite O1O2 car O1 est transformé en O2
par cette homothétie : R2/R1 = HO2/HO1 = HN/HM. Il en résulte HO1/R1=HO2/R2=O1O2/(R1−R2).
Le segment AB est transformé en CD par H1 et en EF par H2; H ap- partient à CE et DF; en outre P Q, corde commune aux cercles Γ1 et Γ2, est perpendiculaire àO1O2, et de même les droites AB, CD, EF. Les segments CD et EF, cordes perpendiculaires à O1O2, admettent O1O2
pour médiatrice.
Le quadrilatèreCDF E est donc un trapèze isocèle, avecO1O2 comme axe de symétrie. Soit I le milieu de CD. Si l’un des côtés CE, CD, DF est tangent au cercle Γ2, il en est de même des deux autres. En effet
– siCE est tangent à Γ2, c’est en E;DF, symétrique deCE par rapport à O1O2 est également tangent ; l’angle HEO2 est droit, de même que l’angleHCO1qui lui correspond par homothétie ; dans le triangle rectangle HCO1, on aO1I·HO1=O1C2 =R21, puis O1I =R1−R2, et IO2=R2, ce qui prouve que CD est tangent en I à Γ2.
– réciproquement, si CD est tangent à Γ2, IO2 = R2, les angles HCO1 puisHEO2 sont droits,CE est tangent à Γ2, puisDF par symétrie.
Il suffit donc de montrer queIO2 =R2.
Les distances deM, P, O2 à la médiatrice deO1O2, comptées positivement deO1 vers O2, sont respectivement :
(M O12−M O22)/(2R1), (P O21−P O22)/(2R1),R1/2 ;
autrement ditR1/2−M O22/(2R1),R1/2−R22/(2R1), etR1/2.
Les distances de M et O2 à P Q sont alors ∆ = (R22 −M O22)/(2R1) et R22/(2R1).
La distance deM à CD est, par l’homothétieH1, ∆R1/R; la distance de CDàP Qest ∆(1−R1/R) ; la distance deO2àCDest, avecR−R1 =OO1
IO2 = R22 2R1
−∆
1−R1
R
= R22R1+M O22·OO1
2RR1
. L’alignement OO1M fournit la relation de Stewart
OO1·O2M2+O1M·O2O2−OM·O2O12=OO1·O1M·OM. O1M =R1 =O1O2,OO2 =R−R2, d’où
OO1·O2M2+R1(R−R2)2−RR21= (R−R1)RR1, puis R22R1+M O22·OO1= 2RR1R2 etIO2=R2, CQFD.
