D1964 – Un parallélogramme qui tombe... à pic
Le cercle inscrit d’un triangle ABC a pour centre I et touche les côtés BC, CA et AB aux points D, E et F. M étant le milieu de BC, la droite MI coupe la hauteur AH au point P. La droite DE coupe au point Q la parallèle issue de A au côté BC. La droite FQ coupe le cercle inscrit au point K. Démontrer que APIK est un parallélogramme.
Solution par G.Thiel
Comme ID est parallèle à PH, MD/MH=MI/MP . Si M' est l'intersection de AI et BC et D' le point de tangence sur BC du cercle de centre I' exinscrit dans l'angle A, M est le milieu de DD' ; les points A,M',I,I' sont en division harmonique donc aussi H,M',D,D' par projection orthogonale sur BC , d'où MM'xMH=MDxMD, ainsi : MI/MP=MM'/MD entrainant AI et PD parallèles ; APDI est un parallélogramme, la longueur de AP est celle du rayon du cercle inscrit .
Le triangle DCE est isocèle (CE et CD tangentes au cercle inscrit).
Donc angleEDC = angleCED = angleAEQ = angleAQE (BC et AQ parallèles) .
Par suite le triangle AEQ est isocèle, AQ,AE,AF, ont même longueur, les points Q,E,F sont sur un cercle de centre A, et l'angleFQE est la moitié de l'angle au centre A.
De même pour le cercle inscrit : angleFDE=angleFIE/2 . Envisageant le quadrilatère AFIE (constitué de deux angles droits) angleFIE=pi-angleA , on en déduit que l'angleKFD du triangle FDQ est droit . Ainsi les points K,I,D sont alignés sur le diamètre du cercle inscrit perpendiculaire à BC (donc parallèle à AP) .
Pour finir : KI et AP étant parallèles de même longueur APIK est un parallélogramme .
