D1800. Quartés gagnants (1ère course)
Le cercle inscrit de centre I d’un triangle ABC touche les côtés BC,CA et AB aux points A
1,B
1et C
1. La droite A
1I coupe la médiane AA’ du triangle ABC au point P.
La perpendiculaire menée de I à la droite AA’ rencontre au point Q la parallèle menée de A au côté BC.
La bissectrice de l’angle en C du triangle ABC coupe au point R la parallèle menée de A’ au côté AC.
La bissectrice de l’angle en B coupe le cercle de diamètre BC en un deuxième point S
Peut-on raisonnablement parier que les quatre points P,Q,R et S pris dans cet ordre ou dans le désordre forment un quarté gagnant c’est à dire sont sur une même ligne droite ?
Solution proposée par Jean Nicot Montrons que R et S sont sur B1C1
Les angles BCR, RCA et CRA’ sont égaux comme A’R est parallèle à AC donc le triangle RCA’ est isocèle et R est sur le cercle de diamètre BC. R et S peuvent être définis de la même manière.
Les angles BSA’ = SBA’= SBA, donc SA’ et AB sont parallèles. Les triangles isocèles SRA’ et B1C1A ont leurs côtés parallèles. SR est parallèle à B1C1. La droite SC1 a la même orientation que SR et B1C1 qui sont donc confondues. R et S sont sur B1C1.
Montrons que P et Q sont sur B1C1
Soit [i] l’inversion de pôle A et de puissance AB1². Elle transforme le cercle inscrit (I) en lui-même et la droite B1C1 en le cercle (AB1C1) dont AI est un diamètre puisque les angles AB1I et AC1I sont droits.
Notons Q0 l’intersection de AI et de la parallèle en A à BC. L’angle en Q0 est droit, Q0 est sur le cercle de diamètre AI et l’inverse de Q0 est l’intersection de AQ0 et B1C1. Notons P0 l’intersection de AA’ et de sa perpendiculaire par I. L’angle en P0 est droit, donc P0 est sur le cercle de diamètre AI et l’inverse de P0 est l’intersection de AA’ et B1C1.L’inverse de la droite AI est donc le cercle de diamètre AQ qui passe en P0.
Q est situé sur B1C1. L’inverse de P0 est P, situé sur AA’, AI et B1C1. P est situé sur B1C1.
P, Q, R, S sont alignés sur B1C1.
