D168. Cercle inscrit dans triangle pythagoricien
Q1 D’un côté, le théorème de Pythagore entraîne (a+b−c) (a+b+c) = (a+b)2−c2= 2ab.D’un autre côté, en écrivant de deux façons l’aire du triangle, nous obtenons 2ab= (a+b+c)d.D’où (a+b−c−d) (a+b+c) = 0 et il en découlea+b=c+dpuisquea+b+c >0.
Q2 Posonsd= 2r=a+b−c.Après élévation au carré, substitution dea2+b2 parc2,division par 2 et factorisation, nous en déduisons 2r2 = (c−a) (c−b). Quitte à inverser le rôle deaet b, nous pouvons supposera < b (a=b impli- querait√
2 = ac rationnel !) et doncc−a > c−b.
Réciproquement si 2r2 = mn avec m > n (m = n impliquerait √ 2 = mr rationnel !), alors nous vérifions quea=n+ 2r, b=m+ 2ret c=m+n+ 2r forment un triangle pythagoricien dont le rayon du cercle inscrit vautr.
Il faut donc dénombrer de combien de façons 2r2 peut se factoriser parmnoù m > r√
2> n.La réponse est clairement τ(2r2)
2 oùτ(n) désigne le nombre de diviseurs positifs den.
Référence : suite A078644
Application avecr= 2010 = 2·3·5·67, τ(2r2)
2 =4·323 = 54.
1
