Enoncé D1964 (Diophante)
Un parallélogramme qui tombe. . . à pic
Le cercle inscrit d’un triangleABC a pour centre I et touche les côtésBC, CAet AB aux points D, E etF.M étant le milieu de BC, la droiteM I coupe la hauteurAH au pointP. La droiteDE coupe au point Q la parallèle issue de A au côté BC. La droite F Qcoupe le cercle inscrit au pointK. Démontrer queAP IK est un parallélogramme.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
La polaire deQpar rapport au cercle inscrit (I) passe par le point Y d’intersection des droites EF et DK; la polaire de A est la droiteEF.
Le pôle de la droite AQ est commun à ces deux polaires, c’est donc Y ; il est sur la perpendiculaire menée de I à AQ, qui est la droite DI. Ce point étant à la fois sur DI et DK, les quatre pointsD, I, K, Y sont alignés etIK est parallèle à AH (qui porte le segmentAP) comme DI.
AinsiK est diamétralement opposé àD, et la tangente à (I) enK est parallèle à BC. L’homothétie de centre A qui transforme (I) en le cercle exinscrit dans l’angleA transformeK en D0, point de contact deBC et du cercle exinscrit, symétrique deDpar rapport àM; ainsiAK passe parD0.
M et I sont deux des milieux des côtés du triangle DD0K; la droite M I (qui porte le segment IP) est parallèle à KD0 (pui porte le segment AK).
On conclut que le quadrilatère AP IK a ses côtés deux à deux parallèles, ce qui en fait un parallélogramme, CQFD.
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