Q₂ ABCD est un carré dans lequel est inscrit le triangle pythagoricien DEF (3,4,5) avec E sur AB et F sur BC

D1897 – Six preuves sans mots [* et *** à la main]

Répondre aux six questions suivantes : - en excluant toute formule trigonométrique,

- en utilisant, si besoin est, les quatre opérations élémentaires (+, – , x et /)

- en donnant pour seules preuves (sans mots) les figures ci-après dûment complétées.

Q₁ ABCD est un carré de côté AB = 5. E est un point courant de BC, F sur CD et angle EAF = 45° . Quelle est la valeur maximale du périmètre du triangle CEF ?[*]

Q₂ ABCD est un carré dans lequel est inscrit le triangle pythagoricien DEF (3,4,5) avec E sur AB et F sur BC.

Quelle est l’aire du carré ABCD arrondi à l’entier le plus proche.[*]

Q₃ ABCD est un quadrilatère tel que BA = BC , angles ABD = x, ADB = 3x, DBC = 3x et

BDC = 5x. Que vaut x en degrés ?[**]

Q₄ Tracer à la règle et au compas le cercle (Γ) qui passe par les sommets A et C d’un triangle ABC et qui coupe les côtés BC et AB respectivement aux points D et E de sorte que AE = BD[***]

Q5 ABCD est un quadrilatère dont l’angle en B est droit, M est le milieu du côté CD et l’angle BAD est égal à l’angle CBM. Si BAC = 25°, que vaut l’angle DBM ?[**]

Q₆ ABCD est un carré. Q set un point du quart de cercle de centre B et de rayon BC = r tel que le demi- cercle de diamètre CQ est tangent en P au côté AB. Quelle est la longueur du côté BC ?[*]

Solution proposée par Daniel Collignon Q₁

Le triangle ADG est l'image du triangle ABE par la rotation de centre A et d'angle 90° (sens horaire) Les triangles AGF et AEF sont isométriques puisqu'ils partagent 2 côtés de même longueur (AF, et AG=AE), et formant un même angle (GAF = GAD+DAF =

EAB+DAF = 90-45 = 45 = FAE).

Ainsi EF = GF = GD+DF = EB+DF

Alors CE+EF+FC = CE+EB+DF+FC = CB+DC = 2*AB

= 10 (valeur constante indépendamment de la position des points E et F).

Q₂

Q₃

Soit F le point situé sur le segment [AB] tel que l'angle CDF vaut 6x.

Ainsi les angles BDF=x=DBF et le triangle FDB est isocèle en F, FD=FB.

Les angles ADF=3x-x=180-(180-2x)=AFD : le triangle ADF est isocèle en A, AD=AF.

D'où AB=AF+FB=AD+FD.

Nous en déduisons FD=CD.

Les triangles ADC et AFC sont isométriques puisqu'ils partagent 2 côtés de même longueur (AC, et AD=AF), et formant un même angle (DAC = ACB = CAB = CAF).

Ainsi DC=FC.

Finalement le triangle CDF est équilatéral et 6x=60, d'où x=10°.

Q₄

Voici un plan de construction :

Reporter A' intersection de BC et du cercle de centre B et de rayon BA (A' est à gauche de B) Construire le cercle de diamètre A'C.

Notons x=AD=AB et y=AE.

Les triangles rectangles AED et EBF sont semblables puisque DEA+FEB=180-90=90.

Alors x/4=(x-y)/3, d'où x=4y.

Dans le triangle rectangle AED, nous avons x²+y²=4² (théorème de Pythagore), d'où l'aire du carré ABCD vaut x²=16²/17 soit 15 après arrondi.

Nous avons (AD)//(BC) puisque angles alternes-internes égaux à 3x par rapport à (BD) : d'où l'égalité des angles DAC = ACB.

En prolongeant (DC) et (AB) qui se coupent en E, l'angle en E vaut 180-4x-(180-5x-3x)=4x

L'angle EAD vaut 180-(180-x-3x)=4x, donc le triangle EAD est isocèle en D et ED=DA.

Le triangle EBC est isocèle en C puisque les angles E et B valent 4x, et CE=CB.

Ainsi CE=CD+DE=CD+DA=CB=AB.

Posons x=AE=BD, c=BA et a=BC.

Exprimons la puissance de B par rapport au cercle : BE*BA = BD*BC

D'où (c-x)*c = x*a

Alors x = c²/(a+c) et donc BE = c-x = ac/(a+c).

Remarque : 2*BE = 2ac/(a+c) est la moyenne harmonique de a et c.

Construire la moyenne harmonique de a et c sur le modèle de cette figure classique

https://fr.wikipedia.org/wiki/Moyenne_harmonique#/media/Fichier:MathematicalMeans.svg où H est la moyenne harmonique des deux valeurs connues a et b.

Une fois cela fait, on peut donc construire E sur le segment AB.

Il ne reste plus qu'à construire le cercle circonscrit au triangle ACE : construction classique puisque le centre est obtenu comme l'intersection de 2 médiatrices de AC et EC par exemple.

Q₅

Q₆

D'où 4y²=4xz=z²-x²=10(z-x) ou encore (10-z)z=5(z-5). Donc z²-5z-25=0 .z = 5(1+sqrt(5))/2. z # 8,09 On prolonge la figure avec :

- E intersection de (AD) et (BC) - H intersection de (BM) et (AD)

- D' est le symétrique de D par rapport à (BH) L'angle en E vaut 90-y

Le triangle BHE est alors rectangle en H

Comme M appartient à (BH), nous avons DM=MD'.

Mais DM=MC, donc MC=MD'.

D' appartient au cercle de centre M et de diamètre CD : le triangle CDD' est rectangle en D'.

Les triangles ABE, AHB, BHE, CD'E sont semblables.

D'où ED'/EC = BH/BA

Alors HD/BH = HD'/BH = HE/BH - D'E/BH = BE/BA - EC/BA = BC/BA

Les triangles BDH et ABC sont donc semblables.

Cela prouve que x=25.

Notons O le milieu de CQ, T le point d'intersection entre BC et le cercle de diamètre CQ, et U le point d'intersection entre PQ et BC.

Dans le triangle QCU, O est le milieu de QC, les droites OP et UC sont parallèles puisque perpendiculaires à AB : P est donc le milieu de QU.

De même dans le triangle QTU, B est le milieu de UT.

Posons x=UB=BT, y=PB et z=BC.

D'où QT = 2PB = 2y.

Nous avons les relations suivantes :

x²+(2y)²=z² (Pythagore dans le triangle rectangle BTQ) x+z=10 (le triangle QCU est isocèle en C puisque CP est la médiatrice de UQ).

y²=xz (relation métrique dans le triangle PCU)