Fiche Démonstration Droites Parallèles Collège
Démonstration de la propriété :
Dans un triangle, si une droite passe par le milieu d'un côté et est parallèle à un deuxième côté alors elle coupe le troisième côté en son milieu.
1) Soit un triangle ABC et I le milieu de [AB]. La droite passant par I et parallèle au côté [BC] coupe le côté [AC] en J.
2) Soit E le symétrique de J par rapport à I, donc I est le milieu du segment [EJ].
3) Les diagonales du quadrilatère AJBE se coupent en leur milieu I, donc AJBE est un parallélogramme.
4) Les côtés opposés d’un parallélogramme sont parallèles et de même longueur, donc AJ=EB et (EB) // (AJ), donc (EB) // (AC) car J ☻ (AC).
5) On a (EB) // (AC), donc (EB) // (JC) et (EJ) // (BC). Si un quadrilatère a ses côtés opposés parallèles, alors c’est un parallélogramme. Donc EBCJ est un parallélogramme.
6) Les côtés opposés d’un parallélogramme sont de même longueur, donc EB=JC.
7) Puisque EB=AJ et EB=JC alors AJ=JC ; et comme J ☻ (AC), alors J est le milieu de [AC].
Fiche Démonstration Droites Parallèles Collège Démonstration de la propriété :
Dans un triangle, si une droite passe par le milieu de deux côtés, alors elle est parallèle au troisième côté.
¾ Soit un triangle ABC, I le milieu de [AB] et J le milieu de [AC].
¾ Soit M le symétrique de J par rapport à I, donc I est le milieu de [MJ].
¾ Le quadrilatère AMBJ a ses diagonales qui se coupent en leur milieu donc c’est un parallélogramme.
Ses côtés opposés (AJ) et (MB) sont parallèles ; donc (AC) // (MB) car J ☻ [AC].
¾ Puisque J est le milieu de [AC] alors AJ=JC.
Et puisque AMBJ est un parallélogramme, alors MB=AJ ; donc MB=JC
¾ Un quadrilatère qui a deux côtés opposés parallèles et de même longueur est un parallélogramme. Donc le quadrilatère MBCJ est un parallélogramme.
¾ Donc on a bien (MJ) // (BC) et par suite (IJ) // (BC).
