Corrigé des Épreuves Communes de mathématiques : sujet A

Corrigé des Épreuves Communes de mathématiques : sujet A

Coefficient: 2 1h 30min

Calculatrice autorisée mardi 26 janvier 2016

.Exercice 1 (2 points) :

Traduire chaque phrase à l’aide d’une expression (aucun calcul n’est demandé ensuite).

a) Le produit de 3 par la somme de 7 et de -5.

3×(7+(−5))

b) La somme de 5 et du produit de -4 par 1,5.

5+1,5×(−4)

c) La différence entre 11 et le produit de 11 par -3.

11−11×(−3)

d) Le quotient du produit de 5 par 4 par la somme de -7 et de -3.

5×4

−7+(−3)

.Exercice 2 (3,5 points) :

Écrire avec une seule puissance de dix.

a.10³×10³×10³×10³=10^(4×3)=10¹² b. 10¹²

10⁵×10⁻⁷= 10¹²

10⁵⁻⁷= 10¹²

10⁻²=10^12−(−2)=10¹⁴

c.(10²)³×(10⁻³)²=10^2×3×10^−3×2=10⁶×10⁻⁶=10⁶⁻⁶ c=10⁰

d. (10³)²

10⁻⁵ =10^3×2 10⁻⁵ = 10⁶

10⁻⁵=10⁶⁻⁽⁻⁵⁾=10⁶⁺⁵=10¹¹

.Exercice 3 (3,5 points) :

Mathilde peut, malgré le gymnase, voir de sa fenêtre le stade dans son intégralité.

B A

S G

M

C h

35m

20 m 40 m 45 m

1Ï Montrer que les droites (MB) et (G A) sont parallèles.

Si deux droites sont perpendiculaires à la même droite, alors elles sont parallèles. Or, les droites (MB) et (G A) sont toutes les deux perpendiculaires à la droite (BS), elles sont donc parallèles.

2Ï Calculer la hauteurhdu gymnase (on utilisera les indications données sur la figure de droite).

CommeB,C,AetSsont alignés, on a :SB=S A+AC+C B=45+40+20=105 m.

Dans le triangleMBS,G∈[MS],A∈[BS], et (MB) et (G A) sont parallèles, d’après le théorème de Thalès : SG

SM =S A SB = G A

MB. De l’égalité S A SB = G A

MB, on obtient :h=G A=S A×MB

SB =45×35

105 =3×15×7×5

5×7×3 =15 m.

Le gymnase a une hauteur égale à 15 m.

1Ï Penser à des simplifications, puis calculer sous forme fractionnaire.

A= −20 12+2

3 A= −4×5

4×3+2 3 A= −5

3+2 3 A=−5+2

3 A=−3

3 A= −1

B=−5 20+ 9

−6 B=5×(−1)

5×4 + 3×3 3×(−2) B=−1

4 + 3

−2 B=−1

4 + 3×(−2)

−2×(−2) B=−1

4 +−6 4 B=−7

4 2Ï Calculer sous forme fractionnaire.

C= −4 3×

µ1 2+7

8

¶

C= −4 3×

µ4 8+7

8

¶

C= −4 3× 11

4×2 C= −11

6

D=9 2−5

2÷15 7 D=9

2−5 2× 7

3×5 D=9

2−7 6 D=27

6 −7 6 D=20

6 D=10

3

.Exercice 5 (1,5 point) :

Dans une agglomération, le coût réel de l’abonnement mensuel au réseau de bus est de 142e^. Mais la communauté d’agglomération prend en charge les4

5de ce montant.

Combien l’usager paie-t-il cet abonnement mensuel ? L’usager ne paie que le reste, c’est à dire 1−4

5=5 5−4

5=1

5 des 142e. Ce qui représente1

5×142=142 5 =284

10 =28,40e^.

.Exercice 6 (1 point) :

Calculer :

E= µ

5− µ

4−³ 3−¡

2−(1−0)⁰¢1´2¶3¶⁴ On commence par les parenthèses les plus intérieures,

et on utilise le fait quex⁰=1 (oùx6=0) : E=

µ 5−

µ 4−³

3−¡

2−(1)⁰¢1´2¶3¶⁴

E= µ

5−³ 4−¡

3−(2−1)¹¢2´3¶4

E= µ

5−³ 4−¡

3−1¹¢2´3¶4

E=³ 5−¡

4−(2)²¢3´4

E=¡

5−(4−4)³¢4

E=¡

5−(0)³¢4

E=(5−0)⁴ E=5⁴ E=625

Sur le schéma ci-dessous (qui n’est pas à l’échelle) les pointsBetCreprésentent deux positions de la cabine du funicu- laire de Montmartre à Paris.

D

A

E F G

C

B

60m

6 m

20m 36m

(Départ)

(Arrivée)

Quand le funiculaire a parcouru 60m (point B) il s’est élevé de 20 m.

On prend comme hypothèse que les droites (C E), (BF) et (AG) sont parallèles.

1Ï Lorsque le funiculaire a parcouru 6 m, de quelle hauteur CE s’est-il élevé ?

Dans le triangleDF B,C∈[DB],E∈[DF], et (C E) et (BF) sont parallèles, d’après le théorème de Thalès : DC

DB =DE DF =C E

BF. De l’égalitéDC DB =C E

BF, on obtient :C E=DC×BF

DB =6×20

60 =6×2×10 6×10 =2 m.

Lorsque le funiculaire a parcouru 6 m, il s’est élevé de 2 m.

2Ï Entre le départ et l’arrivée le funiculaire s’élève de 36 m. Calculer la longueurD Aparcourue par ce funiculaire.

Dans le triangleD AG,B∈[D A],F∈[DG], et (BF) et (AG) sont parallèles, d’après le théorème de Thalès : DB

D A=DF DG=BF

AG. De l’égalitéDB D A =BF

AG, on obtient :D A×BF=DB×AG doncD A=DB×AG

BF =60×36

20 =3×20×36

20 =108 m.

Entre le départ et l’arrivée le funiculaire a parcouru 108 m.

.Exercice 8 (3 points) :

Exprimer chaque nombre sous forme d’une puissance de 10.

a.Cent : 10² c.1 : 10⁰

e.Un millionième : 10⁻⁶

b.Un milliard : 10⁹

d.100 000 000 000 000 : 10¹⁴ f.0,000 01 : 10⁻⁵

.Exercice 9 (2 points) :

Le papyrus Rhind, écrit par le scribe Ahmès vers 1650 av. J.C., contient le problème suivant :

Dans chacune des 7 cabanes, il y a 7 chats.

Chaque chat surveille 7 souris.

Chaque souris a 7 épis de blé.

Chaque épi de blé est composé de 7 grains.

Papyrus Rhind

Exprimer sous forme de puissance de 7 : a) le nombre de chats : 7×7=7²

b) le nombre de souris : 7²×7=7²×7¹=7³

c) le nombre de grains de blé : 7³×7×7=7³×7¹×7¹=7⁵ d) le nombre de cabanes : 7 ou 7¹.

Voici la carte d’une course d’orientation. Le parcours est le suivant :A7→B7→C7→D7→E.

Le triangleABE, isocèle enE, est tel queAB=300 m et BE=500 m. Les pointsC etDsont les milieux respec- tifs des côtés [BE] et [AE].

Calculer la longueur du parcoursABC DE.

CommeABEest isocèle enE, on en déduit queAE=BE=500 m. D’autre part, commeCetDsont les milieux respectifs des côtés [BE] et [AE], alorsBC=C E=AD=DE=BE

2 =500

2 =250 m.

Reste à calculerC D.

Plaçons nous dans le triangleABE, dans lequelCetDsont les milieux respectifs des côtés [BE] et [AE]. Or nous savons que dans un triangle, la longueur du segment joignant les milieux de deux côtés est égale à la moitié de la longueur du troisième côté. Ainsi,C D=B A

2 =300

2 =150 m.

Soitlla longueur du parcoursABC DE. On a alors : l=AB+BC+C D+DE=300+250+150+250=950 m.

.Exercice 11 (3 points) :

Cet exercice est un vrai ou faux.Barème:0,5 pointpar réponse correcte,–0,25 pointpar réponse incorrecte (dans la mesure d’une note positive), et0 pointsi pas de réponse.Écrire une croix dans la bonne colonne.

n° Affirmation Vrai Faux

1 −3²est l’inverse de 3². X

2 L’opposé de n’importe quel nombre est négatif. X

3 La différence de deux nombres opposés est nulle. X

4 Si l’on divise un nombre par -1, on obtient son opposé. X

5 L’opposé du produit de deux nombres est égal au produit des opposés des deux nombres. X 6 Si des nombres sont rangés dans l’ordre croissant, alors leurs opposés seront rangés dans

l’ordre décroissant.

X

.Exercice 12 (2,5 points) :

A l’aide des codages et des données ci-contre : 1Ï montrer que (AB) et (ST) sont parallèles.

Les angles R AB et AST sont correspondants et de même mesure, donc les droites qui les déter- minent (AB) et (ST) sont parallèles.

2Ï Expliquer pourquoiBest le milieu du segment [RT].

Dans un triangle, si une droite passe par le mi- lieu d’un côté et est parallèle à un deuxième côté, alors elle coupe le troisième en son milieu. Dans le triangle RST, la droite (AB) passe par le mi- lieu A du côté [RS] (codages), et est parallèle au côté [ST] (question précédente), elle coupe donc le troisième côté [RT] en son milieu. Comme (AB) et (RT) sont sécantes enB,Best le milieu de [RT].

R A S

B

T

42^◦ 42^◦

Donner l’écriture décimale, puis l’écriture scientifique des nombres suivants.

F=0,3×10²×5×10⁻³

4×10⁻⁴ et G=73×10⁻²−491×10⁻⁴

F=3×10⁻¹×10²×5×10⁻³ 4×10⁻⁴

F=3×5×10⁻¹⁺²⁻³ 4×10⁻⁴ F=15×10⁻²

4×10⁻⁴ F=3,75×10^{−2−(−4)} F=3,75×10⁻²⁺⁴

F=3,75×10²: Écriture scientifique.

F=375 : Écriture décimale.

G=0,73−0,049 1

G=0,680 9 : Écriture décimale.

G=6,809×10⁻¹: Écriture scientifique.