4ème1 DS 5. Thalès, droite des milieux. Corrigé. mardi 29 janvier 2008
Droite des milieux, Thalès. Corrigé.
Exercice 1
On se place dans le triangle ABC. I est le milieu de[BC], J est le milieu de[AC].
Or, dans un triangle, la droite reliant les milieux de deux des côtés est parallèle au troisième côté. De plus, la longueur du segment reliant ces deux milieux est égale à la moitié de la longueur du troisième côté(première propriété des milieux).
Donc
1. (IJ)est parallèle à(AB).
2. et IJ= 12ABorAB= 12cmdonc IJ= 6cm.
Exercice 2
1. ABC est inscrit dans le cercleC.[AB] est un diamètre deCet C un point du cercle, distinct de B et C.
Or, si dans un cercle, un triangle a pour sommet les extrémités d’un diamètre et un point du cercle, alors ce triangle est rectangle en ce point.
Donc ABC est rectangle en C . 2. On se place dans le triangle ABC
• O est le milieu de [AB]car[AB] est un diamètre deCet O son centre.
• (OM) et (BC) sont toutes deux perpendiculaires à (AC) (dans un cas, par hypothèse, dans l’autre, on l’a démontré en 1.). Or deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles entre elles. Donc (OM) est parallèle à(BC).
Or dans un triangle, la droite coupant un côté en son milieu et parallèle à un deuxième côté coupe le troisième côté en son milieu(deuxième propriété des milieux).
Donc M est le milieu de [AC].
Exercice 3
Je me place dans le triangle ABC. Par hypothèse,(DE)est parallèle à(BC). Donc, d’après Thalès, AD
AC = AE AB = DE
BC
1. En particulier AEAB = DEBC. OrAE= 2cm,AB= 3cmetBC= 1.2cm. Donc DE1.2 = 23 soit DE= 1.2×23 =2.43 , DE= 0.8cm.
2. En particulier ADAC =AEAB. OrAE= 2cm,AB= 3cmetAD= 1.5cm. Donc AC1.5 =23 soitAC= 3×1.52 , AC= 2.25cm.
