2012 Chapitre VI : Triangle, droite des milieux et parallèles.

(1)

Théorème des milieux :

Dans un triangle la droite qui passe par les milieux de deux côtés est parallèle au troisième côté.

La longueur du segment qui joint les milieux de ces deux côtés est égale à la moitié de la longueur du troisième côté.

Données Propriété Conclusion

Dans le triangle LMN I milieu de [LM]

J milieu de [LN]

On utilise le théorème des milieux.

Dans un triangle quelconque la droite qui passe par les milieux de deux

côtés, est parallèle au troisième côté.

Et

La longueur du segment qui relie les deux milieux est

égale à la moitié se la longueur du troisième côté.

(IJ) // (MN) Et

IJ=MN/2

(2)

« Réciproque » du théorème des milieux :

Dans un triangle la droite qui passe par le milieu d’un côté et qui est parallèle à un deuxième côté coupe le troisième côté en son milieu.

Données Propriété Conclusion

Dans le triangle LMN

 I milieu de [LM]

 J point de [LN]

 Tel que (IJ)//(MN)

La réciproque du théorème des milieux.

Dans un triangle la droite qui passe par le milieu d’un côté et qui est parallèle à un deuxième côté coupe le troisième côté en son milieu.

J milieu de [LN]

Deux droites parallèles (MN) et (BC) qui coupent deux sécantes (AB) et (AC) forment deux triangles : ABC et AMN.

Dans ce cas le tableau ci-dessous est un tableau de proportionnalité : Longueurs des côtés

de AMN :

AM AN MN

Longueurs des côtés

de ABC : AB AC BC

(3)

Propriété (Théorème de Thalès)

Dans un triangle ABC, si M est un point du côté [AB], N un point du côté [AC] et si les droites (MN) et (BC) sont parallèles, alors :

BC MN AC

AN AB

AM  