4 D DS4 triangles : milieux, parallèles sujet 1 2009-2010 Agrandissement - réduction
NOM : Prénom :
Objectif Acquis En cours
d’acquisition
Non Acquis
Connaître et utiliser les théorèmes relatifs aux milieux de deux côtés d'un triangle
Connaître et utiliser la proportionnalité des longueurs pour les côtés des deux triangles déterminés par deux droites parallèles coupant deux sécantes
Exercice 1 : (4 points)
1
. Tracer un triangle ABC et placer le point M milieu de [AB]. Soit le point N symétrique de B par rapport à C.Démontrer que les droites (MC) et (AN) sont parallèles.
Exercice 2 : (6 points)
Sur la figure ci-contre, on sait que les droites (AB) et (CD) sont parallèles et :
CE = 12 cm ; AB = 7,5 cm ; EB = 6 cm ; BD = 2 cm.
(La figure n’est pas à l’échelle.) a/ Calculer AE.
b/ Calculer CD.
Exercice 3 : (4 points)
a) Construire un rectangle KLMN, note I le point d’intersection de ses diagonales et J le point d’intersection du segment [NK] et de la droite perpendiculaire à (NK) passant par I b) Démontrer que J est milieu de [KN]
Exercice 4 : (4 points)
4. Tracer un rectangle ABCD de 8 cm de diagonale.
Placer les milieux respectifs I, J, K , L des côtés [AB], [BC], [CD] et [DA].
a) Démontrer que IJ = 4 cm
b) Quelle est la nature du quadrilatère IJKL ? Justifier.
Exercice 5 : (2 points)
Cette figure représente un triangle AIJ qui est une réduction du triangle ABC, avec AI = 7,5 cm et IB = 3 cm.
Calculer la valeur exacte du rapport de réduction.
Note :
20
Objectif Acquis En cours d’acquisition
Non Acquis
Connaître et utiliser les théorèmes relatifs aux milieux de deux côtés d'un triangle
Connaître et utiliser la proportionnalité des longueurs pour les côtés des deux triangles déterminés par deux droites parallèles coupant deux sécantes
Exercice 1 : (4 points)
Soit un parallélogramme ABCD. Placer le point E symétrique de A par rapport à D.
La droite (EB) coupe (DC) en F.
Démontrer que le point F est le milieu de [BE].
Exercice 2 : (6 points)
Sur la figure ci-contre, on sait que les droites (AB) et (CD) sont parallèles et :
CE = 24 cm ; AB = 15 cm ; EB = 12 cm ; BD = 4 cm.
(La figure n’est pas à l’échelle.) a/ Calculer AE.
b/ Calculer CD.
Exercice 3 : (4 points)
a) Construire un rectangle ABCD, on note I le point d’intersection de ses diagonales et J le point d’intersection du segment [AD] et de la droite perpendiculaire à (AD) passant par I.
b) Démontrer que J est milieu de [AD]
Exercice 4 : (4 points)
Tracer un rectangle IJKL dont la diagonale mesure 6 cm.
Placer les milieux respectifs A, B, C , D des côtés [IJ], [JK], [KL] et [IL].
a) Démontrer que AB = 3 cm
b) Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifier.
Exercice 5 : (2 points)
Cette figure représente un triangle STU qui est un
agrandissement du triangle SVA avec ST = 8 cm et VT = 2,5
20
4 D DS4 triangles : milieux, parallèles sujet 1 2009-2010 Agrandissement – réduction
CORRECTION
Exercice 1 : (4 points)
On sait que M est le milieu de [AB] (
donnée
) et que C est le milieu de [BN](symétrie).
Si une droite passe par les milieux de deux côtés d'un triangle alors elle est parallèle au troisième côté.
Donc (MC) // (AN).
Exercice 2 : (6 points)
On sait que, dans le triangle CED, les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
D’après la
propriété de proportionnalité des longueurs dans le triangle
, (appelée aussi théorème de Thalès), on a :EA EC = EB
ED = AB CD. a/ En utilisant EA
EC = EB
ED et le fait que ED = EB + BD = 6 + 2 = 8 on peut écrire : EA
12 = 6
8 donc 8 × EA = 12 × 6 d’où EA = 72 8 = 9.
Donc EA = 9 cm.
b/ En utilisant : AB CD = EB
ED on peut écrire : 7,5
CD = 6
8 donc 6 × CD = 8 × 7,5 d’où CD = 60 6 = 10.
Donc CD = 10 cm.
Exercice 3 : (4 points) a)
b) Données : (IJ) ⊥ (KN)
(NM) ⊥ (KN)
Propriété : Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième alors elles sont parallèles entre elles.
Conclusion : (IJ) // (MN)
Données : (IJ) // (MN)
I est le milieu de [MK] (car les diagonales d’un rectangle se coupent en leur milieu)
Propriété :
dans un triangle, la droite qui passe par le milieu d'un côté et qui est parallèle à un deuxième côté coupe le troisième côté en son milieu.Conclusion : J est le milieu de [KN]
Exercice 4 : (4 points)
a) Données : I est le milieu de [AB] et J est le milieu de [BC].
Propriété : dans un triangle, la longueur du segment joignant les milieux de deux côtés est égale à la moitié de la longueur du troisième côté.
4 D DS4 triangles : milieux, parallèles sujet 1 2009-2010 Agrandissement – réduction
CORRECTION C’est donc un losange.
Exercice 5 : (2 points)
Le rapport de réduction est égal à AI
AB = 7,5
3+7,5 = 7,5 10,5 = 75
105 = 5 7
On sait que ABCD est un parallélogramme. Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses côtés opposés sont parallèles.
Donc (AB) // (DC).
Dans le triangle ABE, on sait que (DF) // (AB) et que D est le milieu de [AE]
(symétrie).
Si, dans un triangle, une droite passe par le milieu d'un côté et est parallèle à un deuxième côté alors elle coupe le troisième côté en son milieu.
Donc F est le milieu de [BE].
Exercice 2 : (6 points)
On sait que, dans le triangle CED, les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
D’après la
propriété de proportionnalité des longueurs dans le triangle (appelée aussi théorème de Pythagore)
, on a :EA EC = EB
ED = AB CD. a/ En utilisant EA
EC = EB
ED et le fait que ED = EB + BD = 12 + 4 = 16 on peut écrire : EA
24 = 12
16 donc 16 × EA = 24 × 12 d’où EA = 24×12 16 = 18.
Donc EA = 18 cm.
b/ En utilisant : EB ED = AB
CD
12 15 15×16
4 D DS4 triangles : milieux, parallèles sujet 2 2009-2010 Agrandissement – réduction
CORRECTION Exercice 3 : (4 points)
a)
b) Données : (IJ) ⊥ (AD) (AD) ⊥ (DC)
Propriété : Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième alors elles sont parallèles entre elles.
Conclusion : (IJ) // (DC)
Données : (IJ) // (DC)
I est le milieu de [AC] (car les diagonales d’un rectangle se coupent en leur milieu)
Propriété :
dans un triangle, la droite qui passe par le milieu d'un côté et qui est parallèle à un deuxième côté coupe le troisième côté en son milieu.Conclusion : J est le milieu de [AD]
Exercice 4 : (4 points)
a) Données : A est le milieu de [IJ] et B est le milieu de [JK].
Propriété : dans un triangle, la longueur du segment joignant les milieux de deux côtés est égale à la moitié de la longueur du troisième côté.
Conclusion : AB = IK
2 = 3 cm
Exercice 5 : (2 points)
Le rapport d’agrandissement est égal à ST
SV = 8
8 – 2,5 = 8 5,5 = 80
55 = 16 11
![Dans le triangle ABC, la droite (AM) passe par le sommet A et le milieu M du côté [BC] Donc : (AM) est la médiane du issue de A du triangle ABC](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)