D 649 Une longueur minimax
Solution proposée par Pierre Renfer
On choisit le repère orthonormé d’origine A tel que les points B et C aient pour affixes 1 et i 3
Soient P, Q, R des points sur [BC], [CA], [AB] respectivement.
Soit F(P,Q,R) la longueur du plus grand côté du triangle PQR, qu’on veut minimiser.
Comme la fonction F est continue sur le compact [BC] x [ CA] x [AB], elle atteint un minimum.
Si un sommet du triangle PQR est en A, F(P,Q,R) est minorée par 3
2 , la distance de A à (BC).
Si un sommet du triangle PQR est en B, F(P,Q,R) est minorée par 1, la distance de B à (CA).
Si un sommet du triangle PQR est en A, F(P,Q,R) est minorée par 3, la distance de C à (AB).
Si le minimum de F est atteint pour un triangle (P,Q,R) de ]BC[ x ]CA[ x ]AB[, alors le triangle PQR est nécessairement équilatéral, car sinon on pourrait diminuer la valeur de F en déplaçant légèrement le côté [UV] le plus court du triangle en un côté parallèle [U’V’].
Pour un triangle équilatéral PQR, on note p x i y, q i v, r u les affixes complexes de P, Q, R.
L’équation de la droite (BC) est : y 3 (1 x) (1)
Le caractère équilatéral direct du triangle PQR s’exprime par : p j q j r 0 2 (2)
On déduit de (1) et (2) : u v 3 2 x
u 3 v 2 3 (1 x )
La résolution du système donne : u 3 4 x
v 3 (2 x 1)
Donc : QR (3 4 x) 3(2 x 1) 4(7 x2 2 2 2 9 x 3)
Le polynôme 7 x 2 9 x 3 atteint son minimum pour x 9
14 La valeur de QR est alors : 3
7 Le point R, d’abscisseu 3
7, est facile à construire à la règle et au compas.
Le point P s’obtient comme intersection de la droite (AB) et de l’image de la droite (AC) par la rotation, de centre R, d’angle
3
.
Pour obtenir le point Q, on complète le triangle équilatéral PQR.
