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Si A,P,Q sont align´es et si u+v+w = 1, l’aire du triangle PQR est ´egale `a 1−3w

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(1)

D127

Les points A,P,Q sont align´es si et seulement si le d´eterminant

1 u v

0 v w

0 w u

est nul soit encore w2 =uv.

En prenant comme unit´e l’aire du triangle ABC, l’aire du triangle PQR est ´egale `a|det(P Q, ~~ P R)|=

|

w−v u−v u−w v−w

|=|u2+v2+w2−uv−vw−wu|. Avecw2 =uv etu+v+w= 1 on obtient (1−w)2−2w2−w(1−w) = 1−3w.

Si A,P,Q sont align´es et si u+v+w = 1, l’aire du triangle PQR est ´egale `a 1−3w. Elle est ´egale `a 1 si par exemple u =w = 0, v = 1 (P =B,Q=A et R =C). Elle est ´egale `a 0 si u=v =w= 13 (P =Q=R =G isobarycentre de A, B, C).

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