D165 : Trisection dans un triangle pythagoricien
Soit le triangle rectangle ABC dans lequel AB = 4, BC = 5 et CA = 3. Le cercle inscrit de centre I touche les côtés BC, CA et AB respectivement en D, E et F. Soient P,Q,R les points du cercle inscrit diamétralement opposés à D,E et F. La droite CR rencontre AB en V. Démontrer que :
1) les points A, C, I, P et R sont cocycliques,
2) les droites AP et CR se rencontrent en Q,
3) les points R et Q partagent le segment CV en trois segments égaux.
L’aire S du triangle ABC est donc AB*AC/2=6 et le demi-périmètre p=(AB+BC+CA)/2=6.
Le rayon du cercle inscrit est donc r=S/p=1, et dans un repère d’origine A, avec AB comme axe des abscisses et AC comme axe des ordonnées, les coordonnées des différents points sont donc: A(0,0), B(4,0), C(0,3), I(1,1), E(0,1), F(1,0), Q(2,1), R(1,2), V(3,0); enfin D appartient à la droite x/4+y/3=1, et IP est perpendiculaire à cette droite donc 4(x-1)-3(y-1)=0 soit D(8/5, 9/5) et P(2/5, 1/5). Il en résulte immédiatement que:
1) AIRC est un trapèze isocèle donc inscriptible dans un cercle dont le centre est J (-1/2, 3/2), point de concours des médiatrices de AI et AC, et le rayon √(5/2);
comme JP2=(92+132)/102=(81+169)/100=5/2, P appartient aussi à ce cercle.
2) A, P, Q, et C, R, Q sont respectivement alignés, donc que AP et CR se rencontrent en Q
3) Puisque C, R, Q, V sont alignés et que leurs abscisses respectives sont 0, 1, 2, 3, les points R et Q divisent CV en trois segments égaux.
