D165 Trisection dans un triangle pythagoricien Solution de Patrick Gordon
Le problème est purement métrique. On calcule aisément toutes les distances et tous les angles (ou tous les rapports).
En effet, p (1/2 périmètre) = 6 d'où par exemple AE = AF = p – a = 1. AEIF est un carré; R est au sommet d'un carré "au-dessus" de ce dernier (si l'on a pris AB horizontal, pour fixer les idées). E est au 1/3 de AC et R se projette sur AC au deuxième tiers. CRQ sont donc alignés et CR = RQ = QV (par Thalès). Voilà pour la question 3.
Que ACIR soient cocycliques résulte à l'évidence de ce que AI et RC sont symétriques par rapport à la médiatrice de AC. C'est une partie de la question 1.
Pour montrer que P est aussi sur le cercle ACIR (suite de la question 1), il suffit de calculer les coordonnées de P (et celles du centre du cercle). Du même coup, on montre que AP et AQ ont même pente ½ par rapport à AB et que donc APQ sont alignés (question 2).
