Enonc´e D134 (Diophante) A la recherche des alter ´eg(aux)
Soient un triangle ABC et son cercle circonscrit (C). On trace le cercle tangent en B `a AB et passant par C, puis le cercle tangent en C `a BC et passant par A et enfin le cercle tangent en A `a CA et passant par B.
D´emontrer que ces trois cercles se rencontrent en un mˆeme pointP. Les droitesAP, BP etCP coupent le cercle (C) enA0,B0 etC0. D´emontrer que les triangles ABC etA0B0C0 sont ´egaux.
Pour les plus courageux : D’un point M du plan qui contient ABC, on m`ene les droitesM A,M BetM C qui coupent le cercle (C) enD, E etF. D´eterminer les points M `a distance finie tels que les triangles DEF sont
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egaux au triangleABC et d´emontrer qu’il y a un cercle et une droite qui, pris ensemble, les contiennent tous.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
1) Le cercle tangent en B `a AB et passant par C est l’arc capable, lieu des points P tels que (P C, BP) = (BC, BA) (angles orient´es de droites non orient´ees, d´efinis `a π pr`es). Si P est l’intersection (autre que C) de ce cercle avec le cercle tangent en C `a BC et passant par A, on a aussi (P A, CP) = (CA, CB).
(P B, AP)−(BA, CA) = (BP, P A)−(BA, CA) = (BP, BA)−(P A, CA) = (P C, BC)−(CP, CB) = 0.
(P B, AP) = (BA, CA), ce qui signifie que P appartient aussi `a l’arc ca- pable, cercle tangent en A`aCA et passant parB. Donc les 3 cercles sont concourants en P.
(AA0, AC) = (P A, CA) = (CP, CB) = (CC0, CB), ce qui signifie que les arcsA0CetC0B de (C) sont ´egaux (et il en est de mˆeme, par un argument analogue, de l’arc B0A). Il en r´esulte que le triangle A0B0C0 devient le triangle CABpar la rotation qui am`eneA0 en C.
2) Des points M produisant des trianglesDEF ´egaux `a ABC sont – le pointP d´etermin´e ci-dessus, DEF r´esultant deCAB par rotation, – le pointQappartenant au cercle passant parB et tangent `aAC enC et au cercle passant parC et tangent `a AB en A, DEF r´esultant de BCA par rotation,
– le centreOde (C),DEF r´esultant deABC par rotation deπou sym´etrie par rapport `a O.
– tous les points de la droite de l’infini, fournissant des triangles DEF
´egaux `a ABC `a retournement pr`es.
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PourO, P, Q, le triangleDEF est superposable `aABCsans retournement, et parcouru dans le mˆeme sens.
Les angles en D, E, F du triangle DEF sont une permutation des angles A, B, C du triangle ABC. La connaissance des angles D, E, F d´etermine le pointM comme intersection d’arcs capables. En effet, on a
(BM, M C) = (BE, F C) = (BE, BF) + (BF, F C) =
= (DE, DF) + (AB, AC), et les ´egalit´es analogues (CM, M A) = (EF, ED) + (BC, BA), et
(AM, M B) = (F D, F E) + (CA, CB).
Le tableau suivant liste les 12 cas possibles.
M (DE, DF) (EF, ED) (F D, F E) O (AB, AC) (BC, BA) (CA, CB) P (CA, CB) (AB, AC) (BC, BA) Q (BC, BA) (CA, CB) (AB, AC) R (AC, AB) (BA, BC) (CB, CA) S (CB, CA) (AC, AB) (BA, BC) T (BA, BC) (CB, CA) (AC, AB) U (AB, AC) (CA, CB) (BC, BA) V (CA, CB) (BC, BA) (AB, AC) W (BC, BA) (AB, AC) (CA, CB) X (AC, AB) (CB, CA) (BA, BC) Y (CB, CA) (BA, BC) (AC, AB) Z (BA, BC) (AC, AB) (CB, CA)
Pour R, on a les relations (BR, RC) = 0 = (CR, RA) = (AR, RB), qui exigent que R soit rejet´e `a l’infini ; les segments AD, BE, CF ont mˆeme m´ediatrice,DEF est sym´etrique deABC par rapport `a celle-ci. L’´enonc´e
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ecarte ce cas de figure.
Pour S, on a les relations (BS, SC) = (AB, AC)−(CA, CB), (CS, SA) = (BC, BA)−(AB, AC), (AS, SB) = (CA, CB)−(BC, BA). Comme pour P, elles sont compatibles : deux d’entre elles entraˆınent la troisi`eme, les trois arcs capables sont concourants.
Et de mˆeme pourT, avec (BT, T C) = (AB, AC)−(BC, BA),
(CT, T A) = (BC, BA)−(CA, CB), (AT, T B) = (CA, CB)−(AB, AC).
A partir de ces conditions, ´ecrites aussi pour U, V, W, X, Y, Z, on trouve les quadrilat`eres inscriptibles (arcs capables) BCOU, BCP V, BCQW, CAOV,CAP W, CAQU,ABOW, ABP U, ABQV, permettant de cons- truireU, V, W `a partir deO, P, Q.
Le pointX est sur BC avec (AX, AB) = (CA, CB) ; Y est sur CA avec (BA, BY) = (CA, CB) ; Z est sur AB avec (CZ, CA) = (BC, BA). On voit queX, Y, Z sont les traces des tangentes enA, B, C au cercle circons- crit sur les droites BC, CA, AB. Par le th´eor`eme de Pascal (dans l’hexa- gone AABBCC) XY Z sont align´es. Les triangles DEF correspondants se superposent `a ABC (sans retournement), mais sont parcourus en sens contraire.
Sont ´egalement inscriptibles les quadrilat`eres BCSY, BCT Z, CASZ, CAT X,ABSX,ABT Y permettant de construire S etT.
Pour S et T comme pour R, les triangles DEF ne sont superposables `a ABC qu’avec un retournement, et sont parcourus dans le sens contraire (inverse siABC est direct).
Pour U, V, W, les triangles DEF sont parcourus dans la mˆeme sens que ABC, mais ne sont superposables `a ABC qu’avec un retournement.
Il reste `a examiner si ces points se groupent sur un cercle et une droite.
Je consid`ere d’abord le cercle circonscrit au triangleOP Q; il est invariant dans une permutation circulaire surA, B, C; s’il passait parX, il passerait aussi parY etZ, ce qu’on peut exclure puisque ces 3 points sont align´es.
Je vais travailler en coordonn´ees barycentriques (x, y, z) de base A, B, C.
Avec ces coordonn´ees, l’´equation de (C) est −a2yz−b2zx−c2xy = 0, et l’´equation d’un cercle quelconque est
−a2yz−b2zx−c2xy+λ(x+y+z)(lx+my+nz) = 0, l’axe radical des deux cercles ayant pour ´equation lx+my+nz= 0.
Pour un cercle passant parB etC l’axe radical estBC d’´equationx= 0 ; pour le cercle tangent enB `aAB, le coefficient λ=c2 s’obtient en notant 2
que l’intersection avecAB, d’´equationz= 0, donne la racine doublex= 0.
Consid´erant les autres arcs capables parP, on a
(a2yz+b2zx+c2xy)/(x+y+z) =c2x=a2y=b2z, ce qui d´etermine les coordonn´ees (x, y, z) de ce point.
De mˆeme le pointQ, appartenant au cercle passant parBet tangent `aAC en C et au cercle passant parC et tangent `aAB enA, a des coordonn´ees v´erifiant b2x=c2y=a2z,
Quant `a O, on ax/sin(2A) =y/sin(2B) =z/sin(2C), soit a2(b2+c2−a2)/x=b2(c2+a2−b2)/y =c2(a2+b2−c2)/z.
On peut alors ´ecrire l’´equation du cercleOP Q
b2c2x c2a2y a2b2z a2yz+b2zx+c2xy a2 b2 c2 x+y+z b2 c2 a2 x+y+z c2 a2 b2 x+y+z
= 0
ce qui donne, apr`es d´eveloppement,
(x+y+z)(b2c2x+c2a2y+a2b2z) = (a2+b2+c2)(a2yz+b2zx+c2xy).
L’axe radical ∆, d’´equationx/a2+y/b2+z/c2 = 0, co¨ıncide avec le trans- form´e du cercle OP Q (qui est une droite) par l’inversion I de pˆole O laissant invariant (C).
Les coordonn´ees de U peuvent s’obtenir comme intersection du cercle ABP U, d’´equation
−a2yz−b2zx−c2xy+λz(x+y+z) = 0, o`uλ=b2 `a partir des coordonn´ees de P, et du cercleCAQU, d’´equation
−a2yz−b2zx−c2xy+µy(x+y+z) = 0, o`uµ=c2 pour passer en Q.
On en tire les coordonn´ees de U : x/(b2 +c2 −a2) = y/b2 = z/c2, et on constate qu’elles satisfont l’´equation du cercle OP Q. Donc ce cercle contient U, et aussiV etW, par le mˆeme raisonnement avec permutation circulaire sur les symboles a, b, c.
AinsiO, P, Q, U, V, W appartiennent `a un mˆeme cercle, qui est le cercle de Brocard du triangleABC. Ce sont les points pour lesquels le triangleDEF
est de mˆeme sens que le triangleABC (qu’il soit ou non superposable sans retournement).
La droitec2y+b2z= 0 passant parA coupe le cercle (C) d’´equation
−a2yz−x(c2y+b2z) = 0 selon la racine doubley=z= 0, c’est la tangente AX enAau cercle circonscrit etXadmet les coordonn´ees (0,−b2, c2). De mˆeme Y admet les coordonn´ees (a2,0,−c2), et Z (−a2, b2,0). Les coor- donn´ees deX, Y, Z v´erifient l’´equation de ∆.
Les coordonn´ees de S peuvent s’obtenir comme intersection du cercle ABSX, d’´equation −a2yz − b2zx − c2xy + λz(x + y + z) = 0, o`u λ= (b2−c2)/(c2a2) `a partir des coordonn´ees de X, et du cercle BCSY, d’´equation−a2yz−b2zx−c2xy+µx(x+y+z) = 0, o`uµ= (c2−a2)/(b2c2) pour passer enY.
D’o`u les coordonn´ees deS :a2(c2−a2)/x=b2(a2−b2)/y=c2(b2−c2)/z; elles montrent queSappartient `a ∆. Les cerclesBCT Z,CAT XetABT Y permettent de mˆeme d’obtenir les coordonn´ees de T : a2(b2 −a2)/x = b2(c2−b2)/y=c2(a2−c2)/z, pla¸cant aussiT sur ∆.
Le tableau suivant montre (relation lin´eaire entre les quantit´es x, y, z) les alignementsOP S,OQT,OU X,OV Y,OW Z. AinsiP, Q, U, V, W sont les transform´es par I deS, T, X, Y, Z.
M x/a2 y/b2 z/c2
O b2+c2−a2 c2+a2−b2 a2+b2−c2
P b2 c2 a2
Q c2 a2 b2
U b2+c2−a2 a2 a2 V b2 c2+a2−b2 b2 W c2 c2 a2+b2−c2
S c2−a2 a2−b2 b2−c2 T b2−a2 c2−b2 a2−c2 X 0 c2−b2 b2−c2 Y c2−a2 0 a2−c2 Z b2−a2 a2−b2 0
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