Enonc´e noD182 (Diophante)
Quatre th´eor`emes pour quatre triangles Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Quatre droites d´eterminent six points et quatre triangles.
Avec i, j ∈ {1,2,3,4}, je note Di les droites, Ai,j = Aj,i l’intersection Di∩Dj, Ti le triangle form´e par les droites autres que Di, Ci son cercle circonscrit, Oi le centre de ce cercle, Ni la projection deP sur Di.
Th´eor`eme 1 : les quatre cercles circonscrits `a ces triangles ont un point commun P.
Les cercles C1 et C2 ont pour intersection les points A3,4 et P. Les pro- pri´et´es angulaires dans C1 et C2 donnent (avec des angles orient´es, pris modulo π) :
P ∈C1 ⇒(P A2,3, P A3,4) = (A2,4A2,3, A2,4A3,4) = (D2, D4) ; de mˆeme P ∈C2 ⇒(P A3,4, P A1,3) = (D4, D1).
D’o`u (P A2,3, P A1,3) = (D2, D4) + (D4, D1) = (D2, D1)⇒P ∈C4.
On montre de mˆeme queP ∈C3 et les 4 cercles circonscrits aux triangles Ti ont en commun le point P (point de Miquel du quadrilat`ere complet form´e par lesDi).
Th´eor`eme 2 : les centres des 4 cercles circonscrits sont situ´es sur un mˆeme cercle qui contientP.
La perpendiculaire en A3,4 `a P A3,4 recoupe C1 et C2 respectivement en M1 et M2, qui sont diam´etralement oppos´es `a P dans ces cercles. D’o`u (P O1, P O2) = (P M1, P M2). On a ensuite
(P M1, P M2) = (P M1, P A3,4) + (P A3,4, P A1,3) + (P A1,3, P M2).
(P M1, P A3,4) = (A2,3M1, D3) dansC1; (P A3,4, P A1,3) = (D4, D1) dansC2; (P A1,3, P M2) = (D3, A3,4M2) dansC2;
(D3, A3,4M2) = (D3, A3,4M1) carM1M2A3,4 est un alignement ; (A2,3M1, A3,4M1) = (D2, D4) dansC1.
Ajoutant ces 7 ´equations membre `a membre et simplifiant, on obtient (P O1, P O2) = (D2, D1).
Dans C4 on a (D2, D1) = (P A2,3, P A1,3) et c’est aussi l’angle des m´edia- trices des segmentsP A2,3etP A1,3, qui sont respectivementO4O1etO4O2. Ainsi (P O1, P O2) = (O4O1, O4O2) et les points P, O1, O2, O4 sont cocy- cliques. On montre de mˆeme que O3 appartient au mˆeme cercle C, de centreO.
De ce fait on a aussi (P Oi, P Oj) = (Dj, Di) pour tous (i, j).
Th´eor`eme 3 : les projections de P sur les quatre droites sont align´ees.
P appartenant `aCi, ses projections sur les cˆot´es deTi sont align´ees (droite de Simson).
N3 est sur la droiteN1N2, puisque P appartient `a C4; N4 aussi, puisque P appartient `a C3, CQFD.
Le th´eor`eme 3 peut aussi s’´enoncer : les quatre droites de Simson deP par rapport aux trianglesTi sont confondues.
Th´eor`eme 4 : si P est align´e avec deux des six points, alors les quatre autres points sont sur un mˆeme cercle.
Supposons par exempleP surA1,2A3,4.
On a dans C4 (P A1,2, P A1,3) = (D2, D3) et dans C2 (P A1,3, P A3,4) = (D1, D4). En ajoutant, on a (D2, D3) + (D1, D4) = (P A1,2, P A3,4) = 0 (modπ).
Cela exprime que le segmentA1,3A2,4est vu sous le mˆeme angle (D1, D4) = (D3, D2) depuis A1,4 et A2,3, et donc ces quatre points sont cocycliques, CQFD.
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