Des triangles de mˆ eme aire et mˆ eme p´ erim` etre aux courbes elliptiques

(1)

La question initiale et les objectifs de l’atelier Une réponse intuitive Des questions, des conjectures, des énoncés Des preuves Des preuves élémentaires L’apparition de la courbe elliptique La courbe elliptique et les solutions rationnelles

Des triangles de mˆ eme aire et mˆ eme p´ erim` etre aux courbes elliptiques

Daniel PERRIN

22 mars 2015

(2)

Une page de publicit´ e

Pour des d´ etails, voir sur ma page web : http://www.math.u-psud.fr/∼perrin/

` a la rubrique conf´ erences, la r´ edaction d´ etaill´ ee d’un expos´ e sur le sujet ` a l’IREM de Paris 7, le 29 mai 2013.

On trouvera aussi des choses dans mon livre en pr´ eparation (toujours sur ma page web) :

G´ eom´ etrie projective et applications aux g´ eom´ etries non

euclidiennes et euclidienne.

(3)

La question initiale

et les objectifs de l’atelier

(4)

La question initiale

I

Elle est pos´ ee dans le num´ ero 152 (mars 2012) des Chantiers de p´ edagogie math´ ematique de l’APMEP ainsi que dans le bulletin vert 498 (mai 2012) :

I

Deux triangles ayant la mˆ eme aire et le mˆ eme p´ erim` etre

sont-ils forc´ ement isom´ etriques ?

(5)

La question initiale

I

Elle est pos´ ee dans le num´ ero 152 (mars 2012) des Chantiers de p´ edagogie math´ ematique de l’APMEP ainsi que dans le bulletin vert 498 (mai 2012) :

I

Deux triangles ayant la mˆ eme aire et le mˆ eme p´ erim` etre

sont-ils forc´ ement isom´ etriques ?

(6)

Les objectifs de l’atelier, notamment en lien avec la formation des maˆıtres

• Montrer l’int´ erˆ et de la culture pour la formation des professeurs.

• Faire des math´ ematiques : poser des probl` emes, explorer, exp´ erimenter, conjecturer, formuler, prouver, etc.

• Montrer comment on peut utiliser les logiciels de g´ eom´ etrie.

• Montrer comment on peut utiliser l’algorithmique.

• Faire le lien avec les math´ ematiques vivantes.

(7)

Une r´eponse intuitive

(8)

R´ eponse : non, ´ evidemment

I

L’espace des triangles modulo isom´ etries est de dimension 3 (un triangle est d´ etermin´ e ` a isom´ etrie pr` es par les longueurs de ses cˆ ot´ es par exemple) donc un ´ el´ ement de cet espace ne peut ˆ etre d´ etermin´ e par deux param` etres seulement (ici l’aire et le p´ erim` etre). Pour les plus vieux d’entre nous, cette id´ ee s’appuie notamment sur :

I

Les cas d’isom´ etrie des triangles.

I

Les r´ esolutions de triangles.

I

Mais on peut aussi penser la question en termes d’´ equations :

deux ´ equations (aire et p´ erim` etre donn´ es) ne sauraient

d´ eterminer trois inconnues.

(9)

R´ eponse : non, ´ evidemment

I

L’espace des triangles modulo isom´ etries est de dimension 3 (un triangle est d´ etermin´ e ` a isom´ etrie pr` es par les longueurs de ses cˆ ot´ es par exemple) donc un ´ el´ ement de cet espace ne peut ˆ etre d´ etermin´ e par deux param` etres seulement (ici l’aire et le p´ erim` etre). Pour les plus vieux d’entre nous, cette id´ ee s’appuie notamment sur :

I

Les cas d’isom´ etrie des triangles.

I

Les r´ esolutions de triangles.

I

Mais on peut aussi penser la question en termes d’´ equations :

deux ´ equations (aire et p´ erim` etre donn´ es) ne sauraient

d´ eterminer trois inconnues.

(10)

R´ eponse : non, ´ evidemment

I

L’espace des triangles modulo isom´ etries est de dimension 3 (un triangle est d´ etermin´ e ` a isom´ etrie pr` es par les longueurs de ses cˆ ot´ es par exemple) donc un ´ el´ ement de cet espace ne peut ˆ etre d´ etermin´ e par deux param` etres seulement (ici l’aire et le p´ erim` etre). Pour les plus vieux d’entre nous, cette id´ ee s’appuie notamment sur :

I

Les cas d’isom´ etrie des triangles.

I

Les r´ esolutions de triangles.

I

Mais on peut aussi penser la question en termes d’´ equations :

deux ´ equations (aire et p´ erim` etre donn´ es) ne sauraient

d´ eterminer trois inconnues.

(11)

R´ eponse : non, ´ evidemment

I

L’espace des triangles modulo isom´ etries est de dimension 3 (un triangle est d´ etermin´ e ` a isom´ etrie pr` es par les longueurs de ses cˆ ot´ es par exemple) donc un ´ el´ ement de cet espace ne peut ˆ etre d´ etermin´ e par deux param` etres seulement (ici l’aire et le p´ erim` etre). Pour les plus vieux d’entre nous, cette id´ ee s’appuie notamment sur :

I

Les cas d’isom´ etrie des triangles.

I

Les r´ esolutions de triangles.

I

Mais on peut aussi penser la question en termes d’´ equations :

deux ´ equations (aire et p´ erim` etre donn´ es) ne sauraient

d´ eterminer trois inconnues.

(12)

Des questions, des conjectures,

des ´enonc´es

(13)

Une maxime

Faire des math´ ematiques c’est poser des questions et, si possible,

y r´ epondre.

(14)

Des questions

On appelle fr` ere d’un triangle ABC un triangle (non isom´ etrique) de mˆ eme aire et de mˆ eme p´ erim` etre.

I

Existe-t-il des fr` eres ? Peut-on s’en convaincre exp´ erimentalement ? Figure

I

Un triangle a-t-il toujours des fr` eres ? en a-t-il toujours une infinit´ e ?

I

Un triangle isoc` ele a-t-il des fr` eres isoc` eles ? plus

g´ en´ eralement, un triangle quelconque a-t-il des fr` eres isoc` eles ?

(15)

Des questions

On appelle fr` ere d’un triangle ABC un triangle (non isom´ etrique) de mˆ eme aire et de mˆ eme p´ erim` etre.

I

Existe-t-il des fr` eres ? Peut-on s’en convaincre exp´ erimentalement ? Figure

I

Un triangle a-t-il toujours des fr` eres ? en a-t-il toujours une infinit´ e ?

I

Un triangle isoc` ele a-t-il des fr` eres isoc` eles ? plus

g´ en´ eralement, un triangle quelconque a-t-il des fr` eres isoc` eles ?

(16)

Des questions

On appelle fr` ere d’un triangle ABC un triangle (non isom´ etrique) de mˆ eme aire et de mˆ eme p´ erim` etre.

I

Existe-t-il des fr` eres ? Peut-on s’en convaincre exp´ erimentalement ? Figure

I

Un triangle a-t-il toujours des fr` eres ? en a-t-il toujours une infinit´ e ?

I

Un triangle isoc` ele a-t-il des fr` eres isoc` eles ? plus

g´ en´ eralement, un triangle quelconque a-t-il des fr` eres isoc` eles ?

(17)

Encore des questions

I

Comment calculer explicitement des fr` eres ? Comment construire des fr` eres, avec un logiciel de g´ eom´ etrie (en utilisant les fonctions), ou ` a la r` egle et au compas ?

I

Y a-t-il toujours des triangles fr` eres ` a cˆ ot´ es entiers ou rationnels ? ` a coordonn´ ees rationnelles ? Comment en trouver ? (´ eventuellement en utilisant un logiciel de calcul)

I

Comment les trouver tous ?

I

En creusant cette piste on verra apparaˆıtre des objets

math´ ematiques passionnants et surgir d’autres questions, dont

certaines demeurent ouvertes.

(18)

Encore des questions

I

Comment calculer explicitement des fr` eres ? Comment construire des fr` eres, avec un logiciel de g´ eom´ etrie (en utilisant les fonctions), ou ` a la r` egle et au compas ?

I

Y a-t-il toujours des triangles fr` eres ` a cˆ ot´ es entiers ou rationnels ? ` a coordonn´ ees rationnelles ? Comment en trouver ? (´ eventuellement en utilisant un logiciel de calcul)

I

Comment les trouver tous ?

I

En creusant cette piste on verra apparaˆıtre des objets

math´ ematiques passionnants et surgir d’autres questions, dont

certaines demeurent ouvertes.

(19)

Encore des questions

I

Comment calculer explicitement des fr` eres ? Comment construire des fr` eres, avec un logiciel de g´ eom´ etrie (en utilisant les fonctions), ou ` a la r` egle et au compas ?

I

Y a-t-il toujours des triangles fr` eres ` a cˆ ot´ es entiers ou rationnels ? ` a coordonn´ ees rationnelles ? Comment en trouver ? (´ eventuellement en utilisant un logiciel de calcul)

I

Comment les trouver tous ?

I

En creusant cette piste on verra apparaˆıtre des objets

math´ ematiques passionnants et surgir d’autres questions, dont

certaines demeurent ouvertes.

(20)

Encore des questions

I

Comment calculer explicitement des fr` eres ? Comment construire des fr` eres, avec un logiciel de g´ eom´ etrie (en utilisant les fonctions), ou ` a la r` egle et au compas ?

I

Y a-t-il toujours des triangles fr` eres ` a cˆ ot´ es entiers ou rationnels ? ` a coordonn´ ees rationnelles ? Comment en trouver ? (´ eventuellement en utilisant un logiciel de calcul)

I

Comment les trouver tous ?

I

En creusant cette piste on verra apparaˆıtre des objets

math´ ematiques passionnants et surgir d’autres questions, dont

certaines demeurent ouvertes.

(21)

Les deux ´ enonc´ es principaux

I

On peut se contenter d’un contre-exemple :

(∗) Il existe des triangles fr` eres non isom´ etriques.

I

ou au contraire essayer de prouver un r´ esultat g´ en´ eral : (∗∗) Tout triangle admet une infinit´ e de triangles fr` eres. (L’id´ ee intuitive est que les triangles d’aire et p´ erim` etre fix´ es forment une famille de dimension 1.) Figure

I

Nous verrons plusieurs preuves de ces r´ esultats. Certaines se

contenteront d’affirmer l’existence de triangles fr` eres, d’autres

donneront des moyens de les construire ou de les calculer.

(22)

Les deux ´ enonc´ es principaux

I

On peut se contenter d’un contre-exemple :

(∗) Il existe des triangles fr` eres non isom´ etriques.

I

ou au contraire essayer de prouver un r´ esultat g´ en´ eral : (∗∗) Tout triangle admet une infinit´ e de triangles fr` eres.

(L’id´ ee intuitive est que les triangles d’aire et p´ erim` etre fix´ es forment une famille de dimension 1.) Figure

I

Nous verrons plusieurs preuves de ces r´ esultats. Certaines se

contenteront d’affirmer l’existence de triangles fr` eres, d’autres

donneront des moyens de les construire ou de les calculer.

(23)

Les deux ´ enonc´ es principaux

I

On peut se contenter d’un contre-exemple :

(∗) Il existe des triangles fr` eres non isom´ etriques.

I

ou au contraire essayer de prouver un r´ esultat g´ en´ eral : (∗∗) Tout triangle admet une infinit´ e de triangles fr` eres.

(L’id´ ee intuitive est que les triangles d’aire et p´ erim` etre fix´ es forment une famille de dimension 1.) Figure

I

Nous verrons plusieurs preuves de ces r´ esultats. Certaines se

contenteront d’affirmer l’existence de triangles fr` eres, d’autres

donneront des moyens de les construire ou de les calculer.

(24)

La formule de H´eron Une preuve topologique ?

Une preuve de(∗∗)viales fonctions implicites

La formule de H´eron

(25)

Calculer l’aire ` a partir des cˆ ot´ es ?

a c b

h A

B

H C x

On a un triangle ABC, on pose a = BC, b = CA, c = AB. On

(26)

Calculer l’aire ` a partir des cˆ ot´ es (suite)

I

Soit H le projet´ e orthogonal de A sur [BC]. On a A(ABC) =

¹₂

BC × AH.

I

On pose h = AH et x = BH, d’o` u CH = a − x.

I

En ´ ecrivant Pythagore dans les triangles ABH et ACH , on trouve :

x = c

²

+ a

²

− b

²

2a puis h

²

= 4a

²

c

²

− (a

²

+ c

²

− b

²

)

²

4a

²

(27)

Calculer l’aire ` a partir des cˆ ot´ es (suite)

I

Soit H le projet´ e orthogonal de A sur [BC]. On a A(ABC) =

¹₂

BC × AH.

I

On pose h = AH et x = BH, d’o` u CH = a − x.

I

En ´ ecrivant Pythagore dans les triangles ABH et ACH , on trouve :

x = c

²

+ a

²

− b

²

2a puis h

²

= 4a

²

c

²

− (a

²

+ c

²

− b

²

)

²

4a

²

(28)

Calculer l’aire ` a partir des cˆ ot´ es (suite)

I

Soit H le projet´ e orthogonal de A sur [BC]. On a A(ABC) =

¹₂

BC × AH.

I

On pose h = AH et x = BH, d’o` u CH = a − x.

I

En ´ ecrivant Pythagore dans les triangles ABH et ACH, on trouve :

x = c

²

+ a

²

− b

²

2a puis h

²

= 4a

²

c

²

− (a

²

+ c

²

− b

²

)

²

4a

²

(29)

La formule de H´ eron

I

On en d´ eduit le carr´ e de l’aire :

16A

²

= 4a

²

c

²

− (a

²

+ c

²

− b

²

)

²

I

Et il n’y a plus qu’` a utiliser les identit´ es remarquables pour trouver :

16A

²

= (a + b + c)(b + c − a)(c + a − b)(a + b − c) qui s’´ ecrit plus commun´ ement :

A = p

p

⁰

(p

⁰

− a)(p

⁰

− b)(p

⁰

− c)

o` u p

⁰

est le demi-p´ erim` etre de ABC.

(30)

La formule de H´ eron

I

On en d´ eduit le carr´ e de l’aire :

16A

²

= 4a

²

c

²

− (a

²

+ c

²

− b

²

)

²

I

Et il n’y a plus qu’` a utiliser les identit´ es remarquables pour trouver :

16A

²

= (a + b + c)(b + c − a)(c + a − b)(a + b − c) qui s’´ ecrit plus commun´ ement :

A = p

p

⁰

(p

⁰

− a)(p

⁰

− b)(p

⁰

− c)

o` u p

⁰

est le demi-p´ erim` etre de ABC.

(31)

Au coll` ege : 19, 11, 10 ou 5, 17, 18 ?

I

Calculer le p´ erim` etre de ABC

I

En appliquant le th´ eor` eme de Pythagore dans le triangle ABH , calculer h = AH en fonction de x = BH.

I

Faire de mˆ eme dans ACH et en d´ eduire la longueur x, puis la longueur h et enfin l’aire de ABC.

I

Faire le mˆ eme travail avec le triangle de cˆ ot´ es 5 cm, 17 cm,

18 cm. Que constate-t-on ? Question subsidiaire

(32)

Au coll` ege : 19, 11, 10 ou 5, 17, 18 ?

I

Calculer le p´ erim` etre de ABC

I

En appliquant le th´ eor` eme de Pythagore dans le triangle ABH , calculer h = AH en fonction de x = BH.

I

Faire de mˆ eme dans ACH et en d´ eduire la longueur x, puis la longueur h et enfin l’aire de ABC.

I

Faire le mˆ eme travail avec le triangle de cˆ ot´ es 5 cm, 17 cm,

18 cm. Que constate-t-on ? Question subsidiaire

(33)

Au coll` ege : 19, 11, 10 ou 5, 17, 18 ?

I

Calculer le p´ erim` etre de ABC

I

En appliquant le th´ eor` eme de Pythagore dans le triangle ABH , calculer h = AH en fonction de x = BH.

I

Faire de mˆ eme dans ACH et en d´ eduire la longueur x, puis la longueur h et enfin l’aire de ABC.

I

Faire le mˆ eme travail avec le triangle de cˆ ot´ es 5 cm, 17 cm,

18 cm. Que constate-t-on ? Question subsidiaire

(34)

Au coll` ege : 19, 11, 10 ou 5, 17, 18 ?

I

Calculer le p´ erim` etre de ABC

I

En appliquant le th´ eor` eme de Pythagore dans le triangle ABH , calculer h = AH en fonction de x = BH.

I

Faire de mˆ eme dans ACH et en d´ eduire la longueur x, puis la longueur h et enfin l’aire de ABC.

I

Faire le mˆ eme travail avec le triangle de cˆ ot´ es 5 cm, 17 cm,

18 cm. Que constate-t-on ? Question subsidiaire

(35)

Une preuve topologique de (∗∗) ?

(36)

L’espace des triangles modulo isom´ etries, c’est quoi ?

I

On consid` ere l’espace T de tous les triangles. Un triangle c’est trois points A, B, C de R

²

, non align´ es. L’espace T est donc un ouvert de R

⁶

.

I

Les groupes G

⁺

et G des d´ eplacements et des isom´ etries du plan, sont de dimension 3 et op` erent sur T .

I

L’espace des triangles modulo isom´ etries est le quotient T /G. Il est de dimension 3 en vertu de la formule

dim T = dim G + dim(T /G).

(37)

L’espace des triangles modulo isom´ etries, c’est quoi ?

I

On consid` ere l’espace T de tous les triangles. Un triangle c’est trois points A, B, C de R

²

, non align´ es. L’espace T est donc un ouvert de R

⁶

.

I

Les groupes G

⁺

et G des d´ eplacements et des isom´ etries du plan, sont de dimension 3 et op` erent sur T .

I

L’espace des triangles modulo isom´ etries est le quotient T /G. Il est de dimension 3 en vertu de la formule

dim T = dim G + dim(T /G).

(38)

L’espace des triangles modulo isom´ etries, c’est quoi ?

I

On consid` ere l’espace T de tous les triangles. Un triangle c’est trois points A, B, C de R

²

, non align´ es. L’espace T est donc un ouvert de R

⁶

.

I

Les groupes G

⁺

et G des d´ eplacements et des isom´ etries du plan, sont de dimension 3 et op` erent sur T .

I

L’espace des triangles modulo isom´ etries est le quotient T /G.

Il est de dimension 3 en vertu de la formule

dim T = dim G + dim(T /G).

(39)

Dimension de l’espace des triangles et longueurs des cˆ ot´ es

I

En associant ` a un triangle les longueurs a, b, c de ses cˆ ot´ es, on voit que l’espace Q = T /G est hom´ eomorphe ` a l’ouvert Ω de R

³

d´ efini par les in´ egalit´ es triangulaires :

a, b, c > 0 et |b − c| < a < b + c.

I

Dire que l’aire et le p´ erim` etre d´ eterminent un triangle ` a isom´ etrie pr` es, c’est dire que l’application continue

Φ : Q → R

²

, qui ` a un triangle modulo isom´ etrie associe son aire et son p´ erim` etre est injective.

I

C’est impossible (mais non trivial) en vertu du th´ eor` eme

d’invariance du domaine de Brouwer.

(40)

Dimension de l’espace des triangles et longueurs des cˆ ot´ es

I

En associant ` a un triangle les longueurs a, b, c de ses cˆ ot´ es, on voit que l’espace Q = T /G est hom´ eomorphe ` a l’ouvert Ω de R

³

d´ efini par les in´ egalit´ es triangulaires :

a, b, c > 0 et |b − c| < a < b + c.

I

Dire que l’aire et le p´ erim` etre d´ eterminent un triangle ` a isom´ etrie pr` es, c’est dire que l’application continue

Φ : Q → R

²

, qui ` a un triangle modulo isom´ etrie associe son aire et son p´ erim` etre est injective.

I

C’est impossible (mais non trivial) en vertu du th´ eor` eme

d’invariance du domaine de Brouwer.

(41)

Dimension de l’espace des triangles et longueurs des cˆ ot´ es

I

En associant ` a un triangle les longueurs a, b, c de ses cˆ ot´ es, on voit que l’espace Q = T /G est hom´ eomorphe ` a l’ouvert Ω de R

³

d´ efini par les in´ egalit´ es triangulaires :

a, b, c > 0 et |b − c| < a < b + c.

I

Dire que l’aire et le p´ erim` etre d´ eterminent un triangle ` a isom´ etrie pr` es, c’est dire que l’application continue

Φ : Q → R

²

, qui ` a un triangle modulo isom´ etrie associe son aire et son p´ erim` etre est injective.

I

C’est impossible (mais non trivial) en vertu du th´ eor` eme

d’invariance du domaine de Brouwer.

(42)

Une preuve de (∗∗)

via les fonctions implicites

(43)

Variante de H´ eron : les deux param` etres p et s

Un petit calcul de fonctions sym´ etriques montre qu’on peut ´ ecrire : 16A

²

/p = (b + c − a)(c + a − b)(a + b − c)

= (p − 2a)(p − 2b)(p − 2c) = −p

³

+ 4(bc + ca + ab)p − 8abc.

Se donner A et p revient donc ` a se donner p et l’invariant :

s := (bc + ca+ ab)p − 2abc = bc

²

+b

²

c +ca

²

+ c

²

a +ab

²

+ a

²

b + abc

avec la formule 16A

²

= 4sp − p

⁴

= p(4s − p

³

).

(44)

Une preuve du th´ eor` eme principal via les fonctions implicites

On part d’un triangle T

0

= A

0

B

0

C

0

non aplati et non ´ equilat´ eral.

On suppose par exemple b

0

6= c

0

. On appelle p

0

son p´ erim` etre et A

₀

son aire, ou encore s

₀

le param` etre associ´ e.

On cherche des ABC, non isom´ etriques, avec mˆ eme aire et mˆ eme p´ erim` etre, donc des points de l’ouvert “des longueurs de cˆ ot´ es”

Ω = {(a, b, c) | a, b, c > 0 et |b − c| < a < b + c}

avec p = p

0

et s = s

0

.

(45)

Preuve, suite : on impose a

On a p = a + b + c, s = bc

²

+ b

²

c + ca

²

+ c

²

a + ab

²

+ a

²

b + abc.

On consid` ere Φ : E = R

³

→ F = R

³

, (a, b, c) 7→ (a, p, s).

Le jacobien de cette application est :

1 0 0

1 1 1

b

²

+c

²

+bc+2a(b+c) c

²

+a

²

+ca+2b(c+a) a

²

+b

²

+ab+2c(a+b)

= (b − c)(b + c − a).

Au point (a

0

, b

0

, c

0

) ce jacobien est non nul.

(46)

Preuve, suite et fin

I

Le th´ eor` eme des fonctions implicites montre que l’image Φ(Ω) contient un voisinage de Φ(a

0

, b

0

, c

0

) = (a

0

, p

0

, s

0

).

I

Pour a assez voisin de a

₀

, il existe (a, b, c) ∈ Ω tel que Φ(a, b, c) = (a, p

0

, s

0

), donc un triangle de premier cˆ ot´ e a 6= a

₀

avec mˆ eme aire et mˆ eme p´ erim` etre que T

₀

.

I

Il y a donc une infinit´ e de triangles non isom´ etriques qui ont

mˆ eme aire et mˆ eme p´ erim` etre que T

₀

. Figure

(47)

Preuve, suite et fin

I

Le th´ eor` eme des fonctions implicites montre que l’image Φ(Ω) contient un voisinage de Φ(a

0

, b

0

, c

0

) = (a

0

, p

0

, s

0

).

I

Pour a assez voisin de a

₀

, il existe (a, b, c) ∈ Ω tel que Φ(a, b, c) = (a, p

0

, s

0

), donc un triangle de premier cˆ ot´ e a 6= a

₀

avec mˆ eme aire et mˆ eme p´ erim` etre que T

₀

.

I

Il y a donc une infinit´ e de triangles non isom´ etriques qui ont

mˆ eme aire et mˆ eme p´ erim` etre que T

₀

. Figure

(48)

Preuve, suite et fin

I

Le th´ eor` eme des fonctions implicites montre que l’image Φ(Ω) contient un voisinage de Φ(a

0

, b

0

, c

0

) = (a

0

, p

0

, s

0

).

I

Pour a assez voisin de a

₀

, il existe (a, b, c) ∈ Ω tel que Φ(a, b, c) = (a, p

0

, s

0

), donc un triangle de premier cˆ ot´ e a 6= a

₀

avec mˆ eme aire et mˆ eme p´ erim` etre que T

₀

.

I

Il y a donc une infinit´ e de triangles non isom´ etriques qui ont

mˆ eme aire et mˆ eme p´ erim` etre que T

₀

. Figure

(49)

Trois preuves géométriques de(∗) Des triangles frères à côtés entiers Les triangles isocèles

Des preuves ´el´ ementaires ?

(50)

Comment construire des triangles de mˆ eme aire ?

On se donne un triangle T = ABC .

I

Comment trouver des triangles de base [AB] et de mˆ eme aire que T ? Figure

I

Comment trouver des triangles de base [AD] (avec

D ∈ (AB)) et de mˆ eme aire que T ? C’est le probl` eme de la construction d’une quatri` eme proportionnelle. Figure

I

Avec ces outils, on peut proposer plusieurs preuves

g´ eom´ etriques de (∗).

(51)

Comment construire des triangles de mˆ eme aire ?

On se donne un triangle T = ABC .

I

Comment trouver des triangles de base [AB] et de mˆ eme aire que T ? Figure

I

Comment trouver des triangles de base [AD] (avec

D ∈ (AB)) et de mˆ eme aire que T ? C’est le probl` eme de la construction d’une quatri` eme proportionnelle. Figure

I

Avec ces outils, on peut proposer plusieurs preuves

g´ eom´ etriques de (∗).

(52)

Comment construire des triangles de mˆ eme aire ?

On se donne un triangle T = ABC .

I

Comment trouver des triangles de base [AB] et de mˆ eme aire que T ? Figure

I

Comment trouver des triangles de base [AD] (avec

D ∈ (AB)) et de mˆ eme aire que T ? C’est le probl` eme de la construction d’une quatri` eme proportionnelle. Figure

I

Avec ces outils, on peut proposer plusieurs preuves

g´ eom´ etriques de (∗).

(53)

Trois preuves g´ eom´ etriques de (∗)

I

A partir de deux familles de triangles de mˆ ` eme aire (1). Figure Secours

I

A partir de deux familles de triangles de mˆ ` eme aire (2). Figure

I

A partir de deux familles de triangles de mˆ ` eme p´ erim` etre. Figure

I

Et une preuve ´ el´ ementaire de (∗∗) ? analytique ? g´ eom´ etrique ?

(54)

Trois preuves g´ eom´ etriques de (∗)

I

A partir de deux familles de triangles de mˆ ` eme aire (1). Figure Secours

I

A partir de deux familles de triangles de mˆ ` eme aire (2). Figure

I

A partir de deux familles de triangles de mˆ ` eme p´ erim` etre. Figure

I

Et une preuve ´ el´ ementaire de (∗∗) ? analytique ? g´ eom´ etrique ?

(55)

Trois preuves g´ eom´ etriques de (∗)

I

A partir de deux familles de triangles de mˆ ` eme aire (1). Figure Secours

I

A partir de deux familles de triangles de mˆ ` eme aire (2). Figure

I

A partir de deux familles de triangles de mˆ ` eme p´ erim` etre.

Figure

I

Et une preuve ´ el´ ementaire de (∗∗) ? analytique ? g´ eom´ etrique ?

(56)

Trois preuves g´ eom´ etriques de (∗)

I

A partir de deux familles de triangles de mˆ ` eme aire (1). Figure Secours

I

A partir de deux familles de triangles de mˆ ` eme aire (2). Figure

I

A partir de deux familles de triangles de mˆ ` eme p´ erim` etre.

Figure

I

Et une preuve ´ el´ ementaire de (∗∗) ? analytique ? g´ eom´ etrique ?

(57)

Trouver des triangles fr`eres

`

a cot´es entiers ?

(58)

Avec l’ordinateur

On cherche des triplets d’entiers (distincts) a, b, c et a

⁰

, b

⁰

, c

⁰

qui soient les cˆ ot´ es de triangles fr` eres.

On sait que le p´ erim` etre du triangle est donn´ e par p = a + b + c et l’aire par la formule de H´ eron :

16A

²

= (a + b + c)(b + c − a)(c + a − b)(a + b − c).

On peut chercher des solutions en ´ ecrivant quelques lignes de

programme, plus ou moins malin ... Programme

(59)

Le changement de variable des diff´ erences

On peut aussi faire un peu d’arithm´ etique. La forme de l’aire : 16A

²

= (a + b + c)(b + c − a)(c + a − b)(a + b − c) sugg` ere de poser α = b + c − a, β = c + a − b et γ = a + b − c.

On a p = α + β + γ et la donn´ ee de l’aire est ´ equivalente ` a celle de m = αβγ. On retrouve a, b, c par les formules :

2a = β + γ, 2b = γ + α et 2c = α + β.

Si a, b, c sont entiers, α, β, γ aussi et inversement pourvu que

α, β, γ soient de mˆ eme parit´ e.

(60)

Explorer le probl` eme arithm´ etique

I

Il s’agit de trouver des triplets d’entiers ` a partir de leur somme et de leur produit.

I

Par cette m´ ethode, on montre facilement que le triangle de cˆ ot´ es 3, 4, 5 n’a pas de fr` ere entier.

I

Dans le mˆ eme genre, un probl` eme d´ efi est de trouver tous les entiers α ≤ β ≤ γ tels que α + β + γ = 40 et αβγ = 720.

I

On trouve les solutions 2, 18, 20 et 4, 6, 30 qui donnent les

triangles fr` eres de cˆ ot´ es 10, 11, 19 et 5, 17, 18.

(61)

Explorer le probl` eme arithm´ etique

I

Il s’agit de trouver des triplets d’entiers ` a partir de leur somme et de leur produit.

I

Par cette m´ ethode, on montre facilement que le triangle de cˆ ot´ es 3, 4, 5 n’a pas de fr` ere entier.

I

Dans le mˆ eme genre, un probl` eme d´ efi est de trouver tous les entiers α ≤ β ≤ γ tels que α + β + γ = 40 et αβγ = 720.

I

On trouve les solutions 2, 18, 20 et 4, 6, 30 qui donnent les

triangles fr` eres de cˆ ot´ es 10, 11, 19 et 5, 17, 18.

(62)

Explorer le probl` eme arithm´ etique

I

Il s’agit de trouver des triplets d’entiers ` a partir de leur somme et de leur produit.

I

Par cette m´ ethode, on montre facilement que le triangle de cˆ ot´ es 3, 4, 5 n’a pas de fr` ere entier.

I

Dans le mˆ eme genre, un probl` eme d´ efi est de trouver tous les entiers α ≤ β ≤ γ tels que α + β + γ = 40 et αβγ = 720.

I

On trouve les solutions 2, 18, 20 et 4, 6, 30 qui donnent les

triangles fr` eres de cˆ ot´ es 10, 11, 19 et 5, 17, 18.

(63)

Explorer le probl` eme arithm´ etique

I

Il s’agit de trouver des triplets d’entiers ` a partir de leur somme et de leur produit.

I

Par cette m´ ethode, on montre facilement que le triangle de cˆ ot´ es 3, 4, 5 n’a pas de fr` ere entier.

I

Dans le mˆ eme genre, un probl` eme d´ efi est de trouver tous les entiers α ≤ β ≤ γ tels que α + β + γ = 40 et αβγ = 720.

I

On trouve les solutions 2, 18, 20 et 4, 6, 30 qui donnent les

triangles fr` eres de cˆ ot´ es 10, 11, 19 et 5, 17, 18.

(64)

Une infinit´ e de fr` eres entiers

On peut aussi, toujours en utilisant le changement de variables des diff´ erences, montrer un r´ esultat g´ en´ eral :

Il existe une infinit´ e de triangles non isoc` eles ` a cˆ ot´ es entiers a, b, c et a

⁰

, b

⁰

, c

⁰

, de mˆ eme aire mˆ eme p´ erim` etre, non isom´ etriques, avec

` a la fois a, b, c et a

⁰

, b

⁰

, c

⁰

premiers entre eux.

(65)

Une infinit´ e de fr` eres entiers (suite)

I

On cherche α, β, γ ∈ N

^∗

et α

⁰

, β

⁰

, γ

⁰

∈ N

^∗

tels que l’on ait α + β + γ = α

⁰

+ β

⁰

+ γ

⁰

et αβγ = α

⁰

β

⁰

γ

⁰

.

I

La ruse est de les prendre sous la forme α = uv, β = w, γ = t et α

⁰

= wt, β

⁰

= u, γ

⁰

= v avec u, v, w, t entiers > 0.

I

Il reste ` a r´ ealiser (u − 1)(v − 1) = (w − 1)(t − 1).

I

C’est facile, on prend u − 1 = pq, v − 1 = rs, w − 1 = pr et t − 1 = qs.

I

Un exemple avec p = r = 1, q = 3, s = 5 : (5, 19, 18),

(9, 20, 13)). Figure

(66)

Une infinit´ e de fr` eres entiers (suite)

I

On cherche α, β, γ ∈ N

^∗

et α

⁰

, β

⁰

, γ

⁰

∈ N

^∗

tels que l’on ait α + β + γ = α

⁰

+ β

⁰

+ γ

⁰

et αβγ = α

⁰

β

⁰

γ

⁰

.

I

La ruse est de les prendre sous la forme α = uv, β = w, γ = t et α

⁰

= wt, β

⁰

= u, γ

⁰

= v avec u, v, w, t entiers > 0.

I

Il reste ` a r´ ealiser (u − 1)(v − 1) = (w − 1)(t − 1).

I

C’est facile, on prend u − 1 = pq, v − 1 = rs, w − 1 = pr et t − 1 = qs.

I

Un exemple avec p = r = 1, q = 3, s = 5 : (5, 19, 18),

(9, 20, 13)). Figure

(67)

Une infinit´ e de fr` eres entiers (suite)

I

On cherche α, β, γ ∈ N

^∗

et α

⁰

, β

⁰

, γ

⁰

∈ N

^∗

tels que l’on ait α + β + γ = α

⁰

+ β

⁰

+ γ

⁰

et αβγ = α

⁰

β

⁰

γ

⁰

.

I

La ruse est de les prendre sous la forme α = uv, β = w, γ = t et α

⁰

= wt, β

⁰

= u, γ

⁰

= v avec u, v, w, t entiers > 0.

I

Il reste ` a r´ ealiser (u − 1)(v − 1) = (w − 1)(t − 1).

I

C’est facile, on prend u − 1 = pq, v − 1 = rs, w − 1 = pr et t − 1 = qs.

I

Un exemple avec p = r = 1, q = 3, s = 5 : (5, 19, 18),

(9, 20, 13)). Figure

(68)

Une infinit´ e de fr` eres entiers (suite)

I

On cherche α, β, γ ∈ N

^∗

et α

⁰

, β

⁰

, γ

⁰

∈ N

^∗

tels que l’on ait α + β + γ = α

⁰

+ β

⁰

+ γ

⁰

et αβγ = α

⁰

β

⁰

γ

⁰

.

I

La ruse est de les prendre sous la forme α = uv, β = w, γ = t et α

⁰

= wt, β

⁰

= u, γ

⁰

= v avec u, v, w, t entiers > 0.

I

Il reste ` a r´ ealiser (u − 1)(v − 1) = (w − 1)(t − 1).

I

C’est facile, on prend u − 1 = pq, v − 1 = rs, w − 1 = pr et t − 1 = qs.

I

Un exemple avec p = r = 1, q = 3, s = 5 : (5, 19, 18),

(9, 20, 13)). Figure

(69)

Une infinit´ e de fr` eres entiers (suite)

I

On cherche α, β, γ ∈ N

^∗

et α

⁰

, β

⁰

, γ

⁰

∈ N

^∗

tels que l’on ait α + β + γ = α

⁰

+ β

⁰

+ γ

⁰

et αβγ = α

⁰

β

⁰

γ

⁰

.

I

La ruse est de les prendre sous la forme α = uv, β = w, γ = t et α

⁰

= wt, β

⁰

= u, γ

⁰

= v avec u, v, w, t entiers > 0.

I

Il reste ` a r´ ealiser (u − 1)(v − 1) = (w − 1)(t − 1).

I

C’est facile, on prend u − 1 = pq, v − 1 = rs, w − 1 = pr et t − 1 = qs.

I

Un exemple avec p = r = 1, q = 3, s = 5 : (5, 19, 18),

(9, 20, 13)). Figure

(70)

Les triangles isoc`eles

(71)

Triangles isoc` eles : le calcul explicite des faux jumeaux

Soit ABC un triangle isoc` ele non ´ equilat´ eral. Il existe exactement un triangle isoc` ele, non isom´ etrique ` a ABC, admettant mˆ eme aire et mˆ eme p´ erim` etre.

On part d’un triangle isoc` ele de cˆ ot´ es a, b, b avec 0 < a < 2b et on cherche un triangle isoc` ele de cˆ ot´ es x, y, y avec mˆ emes invariants p et s. En ´ eliminant x et en tenant compte de la racine y = b, on obtient l’´ equation en y :

4y

²

− (5a + 6b)y + 2b

²

+ 3ab + 2a

²

= 0.

(72)

Triangles isoc` eles (suite)

(Pour ces calculs, l’usage d’un logiciel de calcul formel est agr´ eable.)

4y

²

− (5a + 6b)y + 2b

²

+ 3ab + 2a

²

= 0.

Le discriminant est ∆ = (2b − a)(2b + 7a) et on trouve : x = 2b − a + √

∆

4 , y = 5a + 6b − √

∆

8 .

On peut construire les jumeaux ` a la r` egle et au compas. Figure

(73)

Des solutions enti` eres

Il existe une infinit´ e de paires de triangles isoc` eles non

isom´ etriques, ` a cˆ ot´ es entiers, ayant mˆ eme aire et mˆ eme p´ erim` etre.

I

On cherche a, b entiers tels que ∆ = (2b − a)(2b + 7a) soit un carr´ e. Il suffit que les facteurs soient des carr´ es.

I

Les relations 2b + 7a = α

²

, 2b − a = β

²

et α, β ∈ N, donnent 8a = α

²

− β

²

et 16b = α

²

+ 7β

²

.

I

On a ensuite les deux conditions α

²

+ 7β

²

≡ 0 (mod 16) et α

²

+ 2β

²

− αβ ≡ 0 (mod 8) qui sont satisfaites si

α = 3β + 8k, k ∈ N, ce qui donne les solutions : a = β

²

+ 6βk + 8k

²

et b = β

²

+ 3βk + 4k

²

,

x = β

²

+ 2βk et y = β

²

+ 5βk + 8k

²

.

(74)

Des solutions enti` eres

Il existe une infinit´ e de paires de triangles isoc` eles non

isom´ etriques, ` a cˆ ot´ es entiers, ayant mˆ eme aire et mˆ eme p´ erim` etre.

I

On cherche a, b entiers tels que ∆ = (2b − a)(2b + 7a) soit un carr´ e. Il suffit que les facteurs soient des carr´ es.

I

Les relations 2b + 7a = α

²

, 2b − a = β

²

et α, β ∈ N, donnent 8a = α

²

− β

²

et 16b = α

²

+ 7β

²

.

I

On a ensuite les deux conditions α

²

+ 7β

²

≡ 0 (mod 16) et α

²

+ 2β

²

− αβ ≡ 0 (mod 8) qui sont satisfaites si

α = 3β + 8k, k ∈ N, ce qui donne les solutions : a = β

²

+ 6βk + 8k

²

et b = β

²

+ 3βk + 4k

²

,

x = β

²

+ 2βk et y = β

²

+ 5βk + 8k

²

.

(75)

Des solutions enti` eres

Il existe une infinit´ e de paires de triangles isoc` eles non

isom´ etriques, ` a cˆ ot´ es entiers, ayant mˆ eme aire et mˆ eme p´ erim` etre.

I

On cherche a, b entiers tels que ∆ = (2b − a)(2b + 7a) soit un carr´ e. Il suffit que les facteurs soient des carr´ es.

I

Les relations 2b + 7a = α

²

, 2b − a = β

²

et α, β ∈ N, donnent 8a = α

²

− β

²

et 16b = α

²

+ 7β

²

.

I

On a ensuite les deux conditions α

²

+ 7β

²

≡ 0 (mod 16) et α

²

+ 2β

²

− αβ ≡ 0 (mod 8) qui sont satisfaites si

α = 3β + 8k, k ∈ N, ce qui donne les solutions :

a = β

²

+ 6βk + 8k

²

et b = β

²

+ 3βk + 4k

²

,

(76)

Quelques exemples de faux jumeaux isoc` eles

Avec β et k entiers et inf´ erieurs ou ´ egaux ` a 10 on trouve d´ ej` a 45 solutions. En voici quelques-unes :

15, 8, 8 et 3, 14, 14, 35, 22, 22 et 15, 32, 32, 45, 23, 23 et 5, 43, 43, 91, 46, 46 et 7, 88, 88, 153, 77, 77 et 9, 149, 149 etc.

Question plus difficile : trouver toutes les solutions ?

(77)

Un autre exemple de faux jumeaux ...

Jumeaux-Twins-affiche.jpg (Image JPEG, 310x420 pixels) http://www.cinechronicle.com/wp-content/uploads/2012/03/Jumeaux-Twins-affiche.jpg

Daniel PERRIN Des triangles de même aire et même périmètre aux courbes elliptiques

(78)

L’apparition

de la courbe elliptique

(79)

Les triangles fr` eres et la cubique plane

I

On part d’un triangle de cˆ ot´ es a, b, c et on cherche x, y, z tels que :

p = a + b + c = x + y + z et

s = (bc + ca + ab)p − 2abc = (yz + zx + xy)p − 2xyz (les aires sont alors ´ egales en vertu de la formule 16A

²

= 4sp − p

⁴

).

I

On cherche donc des points de la courbe de R

³

d’´ equations x + y + z = p et 2xyz − (yz + zx + xy)p + s = 0.

I

On se ram` ene au cas d’une cubique dans le plan des (x, y) en

´

eliminant z = p − x − y et on obtient :

F (x, y) := 2xy(x + y) − p(x

²

+ y

²

+ 3xy) + p

²