Partitions optimales et p´erim`etre anisotrope

Partitions optimales et p´erim`etre anisotrope

Beniamin Bogosel

LAMA, Chamb´ery

05/07/2013

Partitions Optimales

Honeycomb conjecture - la th´eor`eme de Hales (1999)

Le p´erim`etre

P(E,Ω) = Z

∂E∩Ω

kνEkdHⁿ⁻¹. Formulation variationnelle

P(E,Ω) = sup{

Z

E

divgdx :g ∈C_c¹(Ω;R^N),kgk ≤1}

Le p´erim`etre anisotrope

Ω⊂R^N. Pour ϕ une norme P_ϕ(E,Ω) =

Z

∂E∩Ω

ϕ(νE)dHⁿ⁻¹.

Formulation variationnelle P(E,Ω) = sup{

Z

E

divgdx :g ∈C_c¹(Ω;R^N), ϕ(g)≤1}

certains directions favoris´ees

Optimisation isop´erim´etrique

Perimetre classique ϕ(x) =|x₁|+|x₂| 3 direction favoris´ees

Formulation du Probl`eme

(E)∈Kmin

n

X

i=1

Per_ϕ(Ei,Ω)

K=

(Ei)ⁿ_i=1 :

n

[

i=1

E_i = Ω, E_i ∩E_j =∅(for i 6=j),

|Ei|=c_i,PerΩ(Ei)<∞

ou P

ici =|Ω|.

Γ-convergence

Soit F_ε,F :X →[0,∞], ou ε >0 etX est un espace m´etrique.

On dit que F_ε Γ-converges vers F si les deux conditions suivantes sont satisfaites :

(LI) Pour chaque u ∈X et chaque suite (uε) tel queu_ε →u dans X on a

lim inf

ε→0 F_ε(u_ε)≥F(u)

(LS) Pour chaque u∈X il existe une suite (u_ε) tel que u_ε →u dans X et

lim sup

ε→0

F_ε(uε)≤F(u)

Les proprietes du Γ-convergence :

(i) La Γ-limiteF est toujours semi continue-inf´erieurement surX;

(ii) La Γ-convergence est stable pour des perturbations continues ;

(iii) SiF_ε Γ-converges vers F et v_ε est un minimiseur pour F_ε surX alors chaque point limite de (vε) est un minimiseur deF surX.

Cons´equences :

La fonctionnelle, ´etant une Γ-limite, est semi continue inf´erieurement pour la topologieL¹, alors l’existence est imm´ediate ;

La troisi`eme propri´et´e peut sugg´erer une approche num´erique.

Th´eor`eme de Modica-Mortola

Ω⊂R^N born´e, ouvert ,∂Ω Lipschitz. W :R→[0,∞) continue, W(0) =W(1) = 0, c₀ = 2R1

0

pW(s)ds, W(x)>0 pour chaquex 6= 0,1.

F_ε(u) =





 Z

Ω

ε|Du|²+1 εW(u)

dx u ∈H¹(Ω),R

Ωu=c

∞ sinon

F(u) =

(c₀Per(E,Ω) u ∈BV(Ω;{0,1}),E =u⁻¹(1),R

Ωu =c

∞ sinon

Th´eor`eme Modica-Mortola

F_ε Γ-converge vers F dans la topologieL¹(Ω).

Variante anisotrope

(A. Braides, Approximation of Free Discontinuity Problems) Ω⊂R^N born´e, ouvert ,∂Ω Lipschitz, p >1. W :R→[0,∞) continue, W(0) =W(1) = 0, c_p = 2R1

0(W(s))^1/p′ds, W(x)>0 pour chaquex 6= 0,1 et ϕ une norme sur R^N.

P_ε(u) =





 Z

Ω

ε^p−1

p ϕ^p(Du) + 1

εp^′W(u)

dx u∈H¹(Ω),R

Ωu =c

∞ sinon

P_ϕ(u) =

(c_pPerϕ(E,Ω) u ∈BV(Ω;{0,1}),E =u⁻¹(1),R

Ωu =c

∞ sinon

P_ε Γ-converge vers P dans la topologie L¹(Ω).

G´en´eralisation - Partitions - P´erim`etre classique

E. Oudet (2011)´

X ={(ui)∈L¹(Ω)ⁿ: Z

Ω

u_i =c_i, X

u_i = 1}

alors

P_εⁿ(u) = (Pn

i=1F_ε(ui) (ui)∈X

∞ sinon

Γ-converge vers

Pⁿ(u) = (Pn

i=1F(ui) (ui)∈X

∞ sinon.

Difficult´es

La Γ-convergence n’est pas stable pour la somme (ui) doit verifier P

iu_i = 1.

Partitions - P´erim`etre anisotrope

W :R→[0,∞),W(z) = 0⇔ z ∈ {0,1},W(0.5−t) = W(0.5 +t),∀t ∈R.ϕ une norme sur R^N.

G_ε(u) = (Pn

i=1P_ε(u_i) u_i ∈(W^1,p(Ω))ⁿ∩X

∞ sinon

G(u) = (Pn

i=1P_ϕ(ui) u_i ∈SBV(Ω,{0,1})∩X

∞ sinon

Th´eoreme

G_ε −→^Γ G

Preuve Γ-liminf

C’est une simple cons´equence de th´eor`eme pr´ec´edente.

lim infX

P_ε(uⁱ_ε)≥X

lim infP_ε(u_εⁱ)≥X P_ε(ui) la preuve de A. Braides utilise le ”slicing” et le cas uni-dimensionnel

Alternative

c_p Z

S(u)

ϕ(νu)dHⁿ⁻¹ =c_p Z

Ω

ϕ

dDu d|Du|

dHⁿ⁻¹ ¬

S(u) =

=φ(1) Z

Ω

ϕ

dDu d|Du|

d|Du|= Z

Ω

ϕ

dD(φ◦u) d|D(φ◦u)|

d|D(φ◦u)|=

= Z

Ω

ϕ(D(φ◦u)).

- (u_ε)→u dans L¹ et sup_εP_ε(u_ε)<∞implique D(φ◦u_ε)⇀^∗ D(φ◦u)

Th´eor`eme de Reshetnyak

Soit ϕ :R^N →[0,∞) une fonction convexe et positive homog`ene de degr´e 1. Si (µj)∈ M(Ω,R^N) est un suite de mesures qui converge faiblement vers µ alors

Z

Ω

ϕ(µ)≤lim inf Z

Ω

ϕ(µj) et si |µj|(Ω)→ |µ|(Ω) alors

Z

Ω

ϕ(µ) = lim inf Z

Ω

ϕ(µj).

( R

Ωϕ(µ) =R

Ωϕ(dµ/d|µ|)d|µ|)

lim infP_ε(u_ε)≥lim inf Z

Ω

ϕ(∇u_ε)(W(u))^1/p′

= lim inf Z

Ω

ϕ(D(φ◦u_ε))^Reshetnyak≥ Z

Ω

ϕ(D(φ◦u)).

φ(t) =Rt

0(W(s))^1/p′ds.

Preuve Γ-limsup

1. Choisir un sous ensemble D ⊂L¹(Ω)ⁿ, dense dans

{G <∞} tel que si G(u)<∞on peut trouver (u_j)⊂ D avec u_j →u (dans L¹) etG(u) = limj→∞G(uj)

2. Prouver l’in´egalit´e (LS) pour chaque u ∈ D.

On peut r´eduire l’´etude au classe de partitions poly´edrales.

S. Baldo a prouv´e ce r´esultat pour le cas du p´erim`etre classique. On peut le d´eduire aussi pour le p´erim`etre anisotrope.

Resultat de Baldo

Pour une partition quelconque de Ω en ensembles de p´erim`etre fini (Si), i = 1..n avec volumes prescrits |Si|=c_i on peut trouver un suite (S_i^h) tel que

Chaque S_i^h a une fronti`ere poly´edrale transversale a∂Ω ; χ_S^h

i →χSi dans L¹(Ω), Per(S_i^h)→Per(Si) ;

|S_i^h|=|Si|=c_i.

Par cons´equence pour chaque i = 1..n, on a Dχ_S^h

i

⇀∗ DχSi

et en appliquant le th´eor`eme de Reshetnyak on obtient que P_ϕ(S_i^h)→P_ϕ(S_i)

Profils optimaux

Soit v un minimiseur pour :

c_p = min Z ∞

−∞

1

p^′W(v) + 1 p|v^′|^p

dt :v(−∞) = 0, v(∞) = 1

.

c_p =R1

0(W(s))^1/p′ds; on peut choisir

(v^′ = (W(v))^1/p v(0) = 1/2

la sym´etrie deW implique v(t) +v(−t) = 1.

on peut supposer que v(R)⊂[0,1] et alors v est Lipschitz.

Pour passer de 0 a 1 en temps fini on peut d´efinir pour chaque η >0

v^η = max{0,min{(1 + 2η)v −η,1}}

Si

c_p^η = Z ∞

−∞

1

p^′W(v^η) + 1

p|(v^η)^′|^p

dt alors pour η→0 on a

c_p^η →c_p

On fixe une partition poly´edrale admissible (E_i)∈ K et les d´efinitions suivantes :

Distance sign´e pour E_i

dⁱ(x) = dist(x,Ω\E_i)−dist(x,E_i) M = max{ϕ(~n) :|~n| ≤1}

T >0 tel que spt(v^η)^′ ⊂[−T,T]

ν(x) est la normale du segment le plus proche de x. Pour ε assez petit on va consid´erer trois types des r´egions :

x ∈Ω avec |di(x)|>TMε pour i = 1..n.

voisinages rectangulaires disjoints, contenus dans Ω, de hauteur 2TMε autour du chaque segment

l’ensemble N_ε qui reste satisfait |Nε|<Cε².

Construction de ( u

)

uⁱ_ε(x) =













 v^η

dⁱ(x) εϕ(ν(x))

si x ∈/ N_ε et |dⁱ(x)| ≤TMε

0 sinon dans Ω\(Ei ∪N_ε)

1 sinon dans E_i \N_ε

1/2 pourx ∈∂Ei

uⁱ_ε est Lipschitz sur Ω\N_ε avec une constante C/ε; par le th´eor`eme de Kirszbraun on peut ´etendre chaqueu_εⁱ a tout Ω avec la mˆeme constante Lipschitz.

par troncature entre 1/2 et 1 on preserve la constante Lipschitz, et alors on peut supposer que uⁱ_ε(x)≥1/2 pour x ∈E_i.

Traitement de la contrainte de somme

Pour x ∈Ω on a trois situations selon les r´egions consid´er´ees :

∃i t.q. dⁱ(x)>Tε. On ax ∈E_i et u_εⁱ(x) =δij et on d´eduit Pn

j=1u_ε^j(x) = 1.

∃i,j t.q. |d^ℓ(x)|<Tε, ℓ=i,j. Alors dⁱ(x) +d^j(x) = 0 et d^k(x) = 0 pour k 6=i,j. On d´eduit que

Pn

j=1u_ε^j(x) = 1. (ici on utilise la sym´etrie de W) x ∈N_ε. On voudrait faire la substitution

uⁱ_ε7→u_εⁱ/(

n

X

j=1

u_ε^j) surN_ε.

La situation sur N

Pn

j=1u_ε^j(x)≥1/2⇒ pas de probl`emes avec la division ; par continuit´e, sur le fronti`ere de N_ε on a

Pn

j=1u_ε^j(x) = 1⇒ la continuit´e de u_εⁱ est pr´eserv´ee ;

∇ u_εⁱ Pn

j=1u_ε^j

!

= 1

Pn

i=1u_ε^j∇u_εⁱ − uⁱ_ε Pn

j=1u_ε^j2 n

X

j=1

∇u_ε^j et alors parce quePn

j=1u_ε^j ≥1/2 on peut conserver une borne de type K/ε pour ∇u_εⁱ. (ou K est une constante assez grande)

Correction du volume

on a des petites erreurs de volume surN_ε ≤Cε²; pour corrigeru_εⁱ avec R

Ωu_εⁱ >c_i on peut consid´erer une boule B_εⁱ(rε) de volume C(i)ε^1+δ contenue dans (u_εⁱ)⁻¹(1) et on consid`ere un ensemble E_j qui a un d´eficit, i.e.

R

Ωu_ε^j <c_j.

sur ce boule B_εⁱ on remplacer u_i par une fonction radiale (lin´eaire sur chaque rayon) qui pr´eserve la continuit´e deu_i tel que la hauteur au centre de la boule est 1−ε^1−δ. on remplace u_j sur B_εⁱ(rε) par 1−u_i pour pr´eserver la somme ;

a chaque ´etape on a diminu´e le num´ero de fonctions qui ne satisfait pas la contrainte ;

Estimation sur N

lim sup

ε→0 n

X

i=1

Z

Nε

1

εp^′W(u_εⁱ) + ε^p−1

p ϕ^p(∇u_εⁱ)

dx

≤|N_ε|

"

1 εp^′ max

[0,1] W + ε^p−1 p sup

|~n|=1

ϕ(~n)K^p ε^p

#

≤lim sup

ε→0

C^′ε= 0

on a utilise le fait que|Nε| ≤Cε²;

par cons´equence on peut travailler juste sur Ω\N_ε;

Estimation sur Ω \ N

n

X

i=1

Z

Ω\Nε

1

εp^′W(u_εⁱ) + ε^p−1

p ϕ^p(∇u_εⁱ)

dx

=

n

X

i=1

Z

Ω\Nε

1

εp^′W(v^η(dⁱ(x)

εϕ(x))) + ε^p−1

p ϕ^p( ∇u_εⁱ

|∇u_εⁱ|)|∇uⁱ_ε|^p

dx

=

n

X

i=1

Z TMε

−TMε

Z

dⁱ(x)=t

1

εp^′W(v^η( t εϕ(x)))+

+ ε^p−1

p ϕ^p(ν(x)) 1

ε^pϕ^p(ν(x))|(v^η)^′( t

εϕ(ν(x)))|^p

dHⁿ⁻¹(x)dt

Estimation sur Ω \ N

(cont)

=

n

X

i=1

Z

S(ui)\Nε

ϕ(ν(x))

Z _ϕ(ν(x))^TM

−_ϕ(ν(x))^TM

1

p^′W(v^η) + 1

p|(v^η)^′|^p

dtdHⁿ⁻¹

≤

n

X

i=1

Z

S(ui)\Nε

c_p^ηϕ(ν(x))dHⁿ⁻¹(x)

On fait η→0 et on obtient l’estimation n´ecessaire pour montrer la Γ-limsup.

Remarques

la preuve marche pourϕ =ϕ(x, ~n) ;

les calculs num´eriques marchent aussi pour certains ϕ qui sont pas convexes ;

on peut aussi prouver une variante p´eriodique pour la th´eor`eme de Γ-convergence ; il faut faire attention aux portions de p´erim`etre contenu dans∂Ω ;

R´esultats Num´eriques

Ω = [0,1]². On utilise une grille de discr´etisation N×N. W(s) =s²(1−s)²;

choix deϕ ϕ(x) =

q ax²

1 +bx²

2 aveca<<b

ϕ(x) =kAxk, ouAest une matrice de rotation avec une direction principale favoris´ee ;

Combinaisons pour plusieurs directions : kAxk+kBxk, p

kAxkkBxk,p³

kAxkkBxkkCxk Algorithme : approximation par diff´erences finies ; Optimisation : m´ethode de gradient (LBFGS toolbox) ; Choix de la projection sur les contraintes : l’article d’´Edouard Oudet.

Difficult´es

Choix deε :

-trop grand→ pas de s´eparation entre 0 et 1

-trop petit→ s´eparation tr`es rapide, mais pas optimale pour le p´erim`etre. Une choix initiale bonne est ε= 1/N; Pour n≥5 l’algorithme s’arrˆete dans des minima locaux ou certains fonctionsu_i sont constantes. Pour ´eviter ¸ca on ajoute des multiplicateurs de Lagrange (λi)ⁿ_i=1 qui p´enalisent la variation standard de chaque u_i :

min

n

X

i=1

P_ε(ui) +λi(std(ui)−stdi)

dans cet cas la, l’algorithme est plus couteux parce qu’on doit chercher les bonnes valeurs pourλi.

Algorithme

1. ε= 1/N;

2. conditions initiales al´eatoires ; 3. optimisation

4. on diminueε;

5. le nouveau choix initial est le r´esultat de l’optimisation ant´erieure ;

6. optimisation

on fait r´ep´eter les ´etapes 4,5,6 jusqu’au moment ou ε est assez petit.

- pas de garantie de convergence, mais les r´esultats sont tr`es bons ;

Deux directions

Trois directions

Anisotropie avec trois directions favorisees : π/6, π,5π/6

Anisotropie avec trois directions favoris´ees : 0, π/4, π/2

Conclusions

il en reste la partie num´erique pour le cas 3D ;

´etudier le comportement des partitions optimales par rapport aϕ;

l’approche num´erique par Γ-convergence est riche en applications :

Optimisation multi-phase pour

des valeurs propres Boules de savon

R´ef´erences Bibliographiques

E. Oudet,´ Approximation of partitions of least perimeter by Γ-convergence : around Kelvin’s conjecture

A. Braides, Approximation of Free Discontinuity Problems S. Baldo, Minimal interface criterion for phase transitions in mixtures of Cahn-Hilliard fluids

Merci !