In égalit és Isop érimétriques Quantitatives

(1)

Isop ´erim ´etriques Quantitatives

Position du probl `eme Notations

Fonction Isop érim étrique Mesure log-concave P érim ètre

Ensemble de p érim ètre minimal Asym étrie

Ensembles de p érim ètre fini Lemme de Poussage D éficit Isop érim étrique

L’ensembleΩ₁ Etude d’un cas L’ensembleΩ₂ Minimiseurs Domaine Minoration du p ´erim `etre

Conclusions

In égalit és Isop érim étriques Quantitatives

YOHANN DECASTRO Equipe de Statistiques et Probabilit ´e´ Institut de Math ´ematiques de Toulouse

J.P.S. 3-7 Mai 2010

Le Mont-Dore sous la neige

(2)

Conclusions

Cas Euclidien

Ensemble de périmètre minimal

(3)

Conclusions

Continuit é du p érim ètre

(4)

Conclusions

Continuit é du p érim ètre

(5)

Conclusions

Cadre

F

^-1

(r)

x f(x)

µ mesure de probabilit ´e de densit ´e f sur R

(6)

Conclusions

Fonction Isop ´erim ´etrique

F

^-1

(r) J(r)

x f(x)

J

_µ

( r ) = f F

⁻¹

( r )

Elle permet de mesurer de mani `ere canonique le

p ´erim `etre et la mesure d’un ensemble Ω .

(7)

Conclusions

Mesure log-concave sym ´etrique

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4

• Hypoth èse : µ à densit é log-concave sym étrique

⇔ la fonction isop ´erim `etrique est concave et

sym ´etrique par rapport `a 1 / 2.

(8)

Conclusions

P ´erim `etre

0

f(x1) f(x2) f(x3) f(x4) f(x5) f(x6)

de mani ère g én érale :

P

_µ

( ^Ω ) = H

_µ⁰

( ∂

^M

Ω ) =

Z

∂^MΩ

f ( x ) dH

⁰

( x )

avec H

⁰

la mesure de Hausdorff et ∂

^M

Ω la fronti `ere de

Ω .

(9)

Conclusions

P ´erim `etre minimal

- 0

o `u σ = − F

⁻¹

( m )

• (− ^∞, − σ ) et ( σ , + ^∞ ) sont (les uniques ensembles)

de p ´erim `etre minimal parmi tous les ensembles Ω de

mesure fix ´ee, µ ( ^Ω ) = m.

(10)

Conclusions

L’asym ´etrie

0

- +

Projection isopérimétrique

λ

µ

( ^Ω ) = min { µ ( ^Ω∆ (− ^∞ ^, − σ )) ^, µ ( ^Ω∆ ( σ , + ^∞ ))}

Elle mesure la distance aux ensembles de p ´erim `etre

minimal.

(11)

Ensembles de p ´erim `etre fini

Lemme de Poussage D éficit Isop érim étrique

Conclusions

L’ensemble Ω

- 0

Tout ensemble de p érim ètre fini s’ écrit comme :

Ω = ^[

n∈I

( a

n

, b

n

)

! [ E ^,

o `u I est au plus d ´enombrable, E tel que µ (E) = 0, et

d



 ( a

_n

, b

_n

) ^, ^[

k∈I\{n}

( a

_k

, b

_k

)



 > _0.

(12)

Conclusions

Le lemme de poussage

- a 0 b

- 0

a' b'

On a µ (( a , b )) = µ (( a

^′

, b

^′

)) et

P

_µ

(( a , b )) ≥ P

_µ

(( a

^′

, b

^′

))

(13)

Conclusions

Le lemme de poussage

- 0

a b

- 0

a' b'

En passant au compl ´ementaire, on pousse les trous.

(14)

Conclusions

Ensemble g ´en ´erique

- 0

Soit un ensemble Ω de p ´erim `etre fini.

(15)

Conclusions

On pousse `a gauche

- 0

Ensembles strictement `a gauche de − σ .

(16)

Conclusions

On pousse `a gauche

- 0

• M ˆeme mesure,

• M ême projection isop érim ètrique ⇔ m ême asym étrie,

• P ´erim `etre plus petit.

(17)

Conclusions

On pousse `a droite

- 0

• M ˆeme mesure,

• M ême projection isop érim ètrique ⇔ m ême asym étrie,

• P ´erim `etre plus petit.

(18)

Conclusions

On pousse au milieu

- 0

• M ˆeme mesure,

• M ême projection isop érim ètrique ⇔ m ême asym étrie,

• P ´erim `etre plus petit.

(19)

Conclusions

On pousse au milieu

- 0

• M ˆeme mesure,

• M ême projection isop érim ètrique ⇔ m ême asym étrie,

• P ´erim `etre plus petit.

(20)

Conclusions

On pousse au milieu

- 0

• M ˆeme mesure,

• M ême projection isop érim ètrique ⇔ m ême asym étrie,

• P ´erim `etre plus petit.

(21)

Conclusions

Simplification du probl `eme

- 0

• M ˆeme mesure,

• M ême projection isop érim ètrique ⇔ m ême asym étrie,

• P ´erim `etre plus petit.

(22)

Conclusions

L’asym ´etrie et la mesure restent inchang ´ees

- 0

Projection Isopérimétrique

(23)

Conclusions

Discussion

- 0

Les intervalles en rouge peuvent ˆetre vides.

(24)

Conclusions

Ensemble Ω ₁

- 0

Si les deux sont vides, on a un ensemble Ω

₁

de

p érim ètre minimal à mesure et asym étrie fix ées.

(25)

Conclusions

Le second est vide

- 0

Etudions le cas o `u le second intervalle est vide.

(26)

Conclusions

Le second est vide

- 0

On utilise le lemme de poussage pour minimiser le

p ´erim `etre.

(27)

Conclusions

On pousse les trous

- 0

(28)

Conclusions

On pousse les trous

- 0

(29)

Conclusions

On pousse les trous

- 0

(30)

Conclusions

Ensemble Ω ₂

- 0

On a un ensemble Ω

₂

de p érim ètre minimal à mesure

et asym ´etrie fix ´ees (quand Ω

₁

n’existe pas).

(31)

Conclusions

Ensembles de p érim ètre minimal à asym étrie et mesure fix ées

Ω

₁

- 0

Ω

₂

- 0

Ces ensembles existent pour des valeurs particuli `eres

de l’asym ´etrie.

(32)

Conclusions

Domaine des param `etres

0 1/2 1

measure asymmetry

1

forbidden

1

2 3

4 forbidden

• Sur 1 : Ω

₂

,

• Sur 2 : Ω

₁

,

• Pour µ ( ^Ω ) > 1/2, on passe au compl ´ementaire.

(33)

Conclusions

Minoration du p ´erim `etre

0 Déficit

Asymétrie

En calculant les p ´erim `etres de Ω

₁

et Ω

₂

on peut minorer le p érim ètre à asym étrie fix ée. Le d éficit est d éfini par :

δ

µ

( ^Ω ) = P

_µ

( ^Ω ) − J

_µ

( µ ( ^Ω ))

(34)

Conclusions

Majoration de l’asym ´etrie

0 Déficit

Asymétrie Périmètre

Borne Sup de l'asymétrie

Cela permet de majorer l’asym étrie à p érim ètre fix é.

(35)

Conclusions

Borne Inf ´erieure du

p ´erim `etre Gaussien

(36)

Conclusions

A. C IANCHI , N. F USCO , F.

M AGGI , et A. P RATELLI

P

_γⁿ

( ^Ω ) ≥ J

_γⁿ

( γ

ⁿ

( ^Ω )) + ^λ ( ^Ω ) C ( γ

ⁿ

( ^Ω ))

s log

1 λ ( ^Ω )

o `u γ

ⁿ

mesure gaussienne standard sur R

ⁿ

.

(37)

Conclusions

Lien

www.math.univ-toulouse.fr/ ∼ decastro

(38)

Conclusions

Bord d’un ensemble

Define the set Ω

^d

of all points in Ω of density exactly d ∈ [ 0 , 1 ] ,

Ω

^d

= (

x ∈ ^R ^, lim

ρ→0

L

¹

( ^Ω ∩ B

_ρ

( x )) L

¹

( B

_ρ

( x )) = d

)

where L

¹

is the Lebesgue measure over the real line and B

_ρ

( x ) the ball with center x and radius ρ . Define the essential boundary ∂

^M

Ω of Ω as the set

R \ ^Ω

⁰

∪ ^Ω

¹

In égalit és Isop érimétriques Quantitatives

In égalit és Isop érim étriques Quantitatives

J.P.S. 3-7 Mai 2010

Le Mont-Dore sous la neige

Cas Euclidien

Continuit é du p érim ètre

Continuit é du p érim ètre

Cadre

F

(r)

x f(x)

µ mesure de probabilit ´e de densit ´e f sur R

Fonction Isop ´erim ´etrique

F

(r) J(r)

x f(x)

J

( r ) = f F

( r )

Elle permet de mesurer de mani `ere canonique le

p ´erim `etre et la mesure d’un ensemble Ω .

Mesure log-concave sym ´etrique

• Hypoth èse : µ à densit é log-concave sym étrique

⇔ la fonction isop ´erim `etrique est concave et

sym ´etrique par rapport `a 1 / 2.

P ´erim `etre

de mani ère g én érale :

P

( Ω ) = H

( ∂

Ω ) =

Z

f ( x ) dH

( x )

avec H

la mesure de Hausdorff et ∂

Ω la fronti `ere de

Ω .

P ´erim `etre minimal

o `u σ = − F

( m )

• (− ∞, − σ ) et ( σ , + ∞ ) sont (les uniques ensembles)

de p ´erim `etre minimal parmi tous les ensembles Ω de

mesure fix ´ee, µ ( Ω ) = m.

L’asym ´etrie

λ

( Ω ) = min { µ ( Ω∆ (− ∞ , − σ )) , µ ( Ω∆ ( σ , + ∞ ))}

Elle mesure la distance aux ensembles de p ´erim `etre

minimal.

L’ensemble Ω

Tout ensemble de p érim ètre fini s’ écrit comme :

Ω = [

( a

, b

)

! [ E ,

o `u I est au plus d ´enombrable, E tel que µ (E) = 0, et

d



 ( a

, b

) , [

( a

, b

)



 > 0.

Le lemme de poussage

On a µ (( a , b )) = µ (( a

, b

)) et

P

(( a , b )) ≥ P

(( a

, b

))

Le lemme de poussage

En passant au compl ´ementaire, on pousse les trous.

Ensemble g ´en ´erique

Soit un ensemble Ω de p ´erim `etre fini.

( ^Ω ) = H

• (− ^∞, − σ ) et ( σ , + ^∞ ) sont (les uniques ensembles)

mesure fix ´ee, µ ( ^Ω ) = m.

( ^Ω ) = min { µ ( ^Ω∆ (− ^∞ ^, − σ )) ^, µ ( ^Ω∆ ( σ , + ^∞ ))}

Ω = ^[

! [ E ^,

) ^, ^[

 > _0.

Ensemble Ω ₁

Ensemble Ω ₂

• Pour µ ( ^Ω ) > 1/2, on passe au compl ´ementaire.

( ^Ω ) = P

( ^Ω ) − J

( µ ( ^Ω ))