Th´ eor` eme 3.2.1 Si p est premier, il existe au moins un ´ el´ ement d’ordre p − 1 dans (Z

3.2.1 Exemple de diviser pour r´ egner : Certificat de Lehmer

Th´ eor` eme 3.2.1 Si p est premier, il existe au moins un ´ el´ ement d’ordre p − 1 dans (Z

/pZ

)

. On peut prouver ce th´ eor` eme par la m´ ethode suivante :

Exercice 3.2.2 Dans un groupe G, si x est d’ordre a, y d’ordre b et x.y = y.x, alors montrez

G poss` ede un ´ el´ ement d’ordre a ∨ b. En d´ eduire que si p est premier, alors un ´ el´ ement de (Z

/pZ

)

d’ordre maximal est en fait d’ordre p − 1.

C’est plutˆ ot la r´ eciproque qui nous int´ eresse ici.

Remarque 3.2.3 Soit p un entier sup´ erieur ` a 2. S’il existe un ´ el´ ement x d’ordre p − 1 dans (Z

/pZ

)

alors p est premier.

Exercice 3.2.4 Si p est premier, exprimez avec l’indicatrice d’Euler le nombre d’´ el´ ements d’ordre p − 1 dans (Z

/pZ

)

. Cr´ eez une liste importante de nombres premiers, et dans chaque cas, calculez la probalilit´ e pour qu’un ´ el´ ement soit un g´ en´ erateur. Faites une illustration graphique.

Malheureusement, la m´ ethode na¨ıve pour trouver l’ordre d’un ´ el´ ement est polynomiale en p. Ce- pendant, lorsque l’on peut factoriser p − 1 nous pouvons diviser ce probl` eme. On expolitera donc cette possibilit´ e au 3.3, ainsi que dans la proposition suivante, qui donne le principe du certificat de Lehmer.

Proposition 3.2.5 Soit p ∈ IN

, p > 1. Si pour tout nombre premier q divisant p − 1, il existe x

tel que x

= 1 [p] et x

p−1

qq

6= 1 [p], alors p est premier.

Remarque 3.2.6 La recherche des x

est parall´ elisable.

Certificat de primalit´ e de Lehmer

On donne la factorisation de p− 1 et les (x

). On certifie aussi r´ ecursivement les grands diviseurs de p − 1. Alors, avec ces donn´ ees, on peut v´ erifier que p est premier en utilisant des puissances rapides.

Recherche d’un g´ en´ erateur de (Z

/pZ

)

Proposition 3.2.7 Soit p un nombre premier, et notons

k

Y

i=1

p

la d´ ecomposition en facteurs pre- miers de p − 1. Si l’on dispose pour i dans {1, . . . , k} d’´ el´ ements x

tels que x

p−1

ppii

6= 1 [p], alors g =

k

Y

i=1

x

p−1 pni

pii

est un g´ en´ erateur de (Z

/pZ

)

.

Exercice 3.2.8 1) Cr´ eez une liste L

d’une cinquantaine de nombres pseudo-premiers p inf´ erieurs

`

a 3000

, tels que p − 1 n’ait que des facteurs inf´ erieurs ` a 3000.

2) Trouvez 5 nombres pseudo-premiers du type 8.p.q.r + 1 tels que p, q, r soient dans votre liste L

3) Certifiez un des ´ el´ ements de L

(on certifiera les nombres premiers sup´ erieurs ` a 3000).

1. on pourra d´ecomposeraetben facteurs premiers

1

3.3 Ordre d’un ´ el´ ement.

L’algorithme suivant permet de calculer l’ordre d’un ´ el´ ement en temps polynomial en log m ` a partir de la d´ ecomposition en facteurs premiers de m.

Entr´ ee: Un ´ el´ ement g d’un groupe (G, ∗), et L

: la d´ ecomposition en facteurs premiers d’un entier naturel m =

k

Y

i=1

p

tel que g

= 1.

Sortie: L’ordre de g dans G Fonction ordre(g, L

);

m =

k

Y

i=1

p

//initialisation ; pour i de 1 ` a k faire

m ← m/p

;

y ← g

// au sens de (G, ∗);

tantque y est diff´ erent de 1 faire y ← y

// au sens de (G, ∗);

m ← m.p

; ftantque fpour

retourner m;

Algorithme 1: Ordre d’un ´ el´ ement.

Exercice 3.3.1 Trouvez une fonction sous xcas qui donne la d´ ecomposition en facteurs premiers d’un entier n sous forme d’une liste. Programmez une fonction ord(g, n) qui calcule l’ordre de g dans (Z

/n.Z

)

.

V´ erifiez si votre fonction est correcte avec xcas en utilisant la fonction znorder qui est dispo- nible apr` es avoir charg´ e : pari() Pour la documentation de pari, on pourra aller dans le menu : Aide>Manuels>Pari-GP

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