Trisection dans un triangle pythagoricien
Problème D165 de Diophante
Soit le triangle rectangle ABC dans lequel AB = 4, BC = 5 et CA = 3. Le cercle inscrit de centre I touche les côtés BC, CA et AB respectivement en D, E et F. Soient P, Q, R les points du cercle inscrit diamétralement opposés à D, E et F. La droite CR rencontre AB en V. Démontrer que :
1) les points A, C, I, P et R sont cocycliques, 2) les droites AP et CR se rencontrent en Q,
3) les points R et Q partagent le segment CV en trois segments égaux.
Solution
Il suffit de faire une figure sur un papier à gros millimètres.
A
I J
V R
Q
P F
E
D C
B Partant des points A(0,0), B(0,30), C(40,0), il apparaît le tableau de coordonnées suivant :
Point abscisse ordonnée
I 10 10
D 16 18
E 0 10
F 10 0
P 4 2
Q 20 10
R 10 20
V 30 0
J - 5 15
Il suffit de vérifier que :
1) JA2 = JP2 = JI2 = JR2 = JB2 = 250
2) pente (AP) = pente (AQ) = 1/2 et pente (CR) = pente (CQ) = -1 3) CR = RQ = QV = 10√2
Sur le thème du triangle 3,4,5 voici une figure originale, où il apparaît que le cercle tangent à deux cercles égaux et une de leurs tangentes communes posséde un rayon quatre fois moindre que celui des deux cercles initiaux.
