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Trisection dans un triangle pythagoricien

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Academic year: 2022

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(1)

Trisection dans un triangle pythagoricien

Problème D165 de Diophante

Soit le triangle rectangle ABC dans lequel AB = 4, BC = 5 et CA = 3. Le cercle inscrit de centre I touche les côtés BC, CA et AB respectivement en D, E et F. Soient P, Q, R les points du cercle inscrit diamétralement opposés à D, E et F. La droite CR rencontre AB en V. Démontrer que :

1) les points A, C, I, P et R sont cocycliques, 2) les droites AP et CR se rencontrent en Q,

3) les points R et Q partagent le segment CV en trois segments égaux.

Solution

Il suffit de faire une figure sur un papier à gros millimètres.

A

I J

V R

Q

P F

E

D C

B Partant des points A(0,0), B(0,30), C(40,0), il apparaît le tableau de coordonnées suivant :

Point abscisse ordonnée

I 10 10

D 16 18

E 0 10

F 10 0

P 4 2

Q 20 10

R 10 20

V 30 0

J - 5 15

Il suffit de vérifier que :

1) JA2 = JP2 = JI2 = JR2 = JB2 = 250

2) pente (AP) = pente (AQ) = 1/2 et pente (CR) = pente (CQ) = -1 3) CR = RQ = QV = 10√2

(2)

Sur le thème du triangle 3,4,5 voici une figure originale, où il apparaît que le cercle tangent à deux cercles égaux et une de leurs tangentes communes posséde un rayon quatre fois moindre que celui des deux cercles initiaux.

Références

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