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D147 : Quatre cercles dans un triangle

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Academic year: 2022

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D147 : Quatre cercles dans un triangle

Soit R le rayon du cercle inscrit, et r1, r2, r3, les rayons des cercles de centres O1, O2, O3. On a, entre les angles du triangle, la relation : cosA+cosB+cosC=1+4sinA/2sinB/2sinC/2 qui peut aussi s’écrire : sin2A/2+sin2B/2+sin2C/2=1-2sinA/2sinB/2sinC/2.

Or sinA/2=(R-r1)/(R+r1), sinB/2=(R-r2)/(R+r2) et sinC/2=(R-r3)/(R+r3).

D’où l’équation du 6ème degré en R :

(R-r1)2/(R+r1)2+(R-r2)2/(R+r2)2+(R-r3)2/(R+r3)2+2(R-r1)(R-r2)(R-r3)/(R+r1)(R+r2)(R+r3)=1.

Or (R+r1)2(R+r2)2(R+r3)2=R6+2(r1+r2+r3)R5+[(r12+r22+r32)+4(r2r3+r3r1+r1r2)]R4+[2r12(r2+r3) +2r22(r3+r1)+2r32(r1+r2)+8r1r2r3]R3+(r22r32+r32r12+r12r22+4r1r2r3(r1+r2+r3)R2

+2r1r2r3(r2r3+r3r1+r1r2)R+r12r22r32 . ; trois autres termes sont obtenus en changeant les signes de r1, r2 ou r3 dans cette expression ; enfin,

(R2-r12)(R2-r22)(R2-r32)=R6-(r12+r2+r32)R4+(r22r32+r32r12+r12r22)R2-r12r22r32

Donc 4R6-8(r2r3+r3r1+r1r2)]R4-32r1r2r3R3+4[(r22r32+r32r12+r12r22)-2r1r2r3(r1+r2+r3)]R2=0 ou encore R4-2(r2r3+r3r1+r1r2)]R2-8r1r2r3R+(r22r32+r32r12+r12r22)-2r1r2r3(r1+r2+r3)=0

Pour r1=1, r2=4 et r3=9, on a : R4-98R2-288R+385=0 qui admet R=11 comme racine.

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