Problème. Connaissant les rayons des cercles inscrit et circonscrit à un triangle et sa hauteur, trouver les côtés

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N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

F AUDOT

Problème. Connaissant les rayons des cercles inscrit et circonscrit à un triangle et sa hauteur, trouver les côtés

Nouvelles annales de mathématiques 1

^re

série, tome 2 (1843), p. 311-312

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(2)

PROBLÈME.

Connaissant les rayons des cercles inscrit et circonscrit à un triangle et sa hauteur, trouver les côtés. {Géométrie analytique de Lcfebure de Fourcy. 4e édition, page 140.)

F A R M. F A U D O T ,

Ancien professeur de mathématiques dans les Collèges royaui, docteur ès-sciences.

Soient

h la hauteur, R le rayon du cercle circonscrit, r celui du cercle inscrit, x, y, z les côtés demandés.

Je fais x+y + z=z2p ; la surface du triangle = S , on a

= V pip—x) (p—y)(p — z) (4) [i) et (3) donnent 2Rhz=yzf (2) et (3) — = /?, (3) et (4)hx

hx ^% /hxrhx—2rx\ / hx — 2/y\ / hx—2rz

Y "y ~2r\ 2? ) \ 2? ) \ 2?

tfx* __ hx /hx — 2rx\ / hx—2ry\ / hx— Ûrz\

~T"~~ 1? V 2? ) V 2? / V 2? / 4r4A = {h — 2r) (hx — 2ry) (hx — 2rz), r4^=^3a72— 2rWxy — *2rWxi+kr%lixy — 2rh7xz +

+ 4rVi^z 4- Whxz

= Wx^—Zrhxy— 2rhx*— 2rhxz

(3)

— 312 — Mals on a

hx hx— rx

——, ^ + 2 = ; remplaçant, on a r r

) = 4r2(— r'

x\h— 2r)2=4r2(2/tR — 4 R r — rQ),

— 4 R r — r'