N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES
R. M ARCHAY
Solution de question proposée
Nouvelles annales de mathématiques 6
esérie, tome 2 (1927), p. 270-271
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SOLUTION DE QUESTION PROPOSÉE.
2505.
" (1927, p . I 8 r . )
x et y désignant deux variables réelles, établir les relations sh2r Log ( cos2 h sh2 — ) = Log —
. / x . y \ y tang x—xlhy Arc tang ( lang — th — 1 = Arc tang ~- •
b\ ö 9Jl in ; b xtang.r— yihy
i
A. LABROUSSE.
SOLUTION P J I M . R. MARCHAV.
La démonstration directe des relations annoncées peut s'obtenir de la façon suivante :
Envisageons d'abord la première et soit f(x, y) le second membre, il Nient
£/ x , sin2
fi oc, y) -*- Log-——;
JX 1 j ; b4(si puis
(i) /(2a?, iy) = f(x, y) -«- Log(cos2a? — sh2y)
— 271 — en remarquant que
sin22#— s i n22 ^ = cos2 2 IJK — cos2 2 x
= (C0S2ÎJK -r- C0S2âî)(C0»2iy COS23?)
= 4(cos2tjK — cos2 x — I)(COS2£JK
= 4(cos2 x -\- sh2y)(sin2# — sin2 iy).
La formule (1) conduit immédiatement à
si /n tend vers l'infini, le dernier terme tend vers zéro et l'on obtient la formule de l'énoncé.
La seconde formule s'établit de façon analogue : en désignant par f(x,y) la quantité qui figure au second membre sous le signe arc tang, on \érifie
que
d'où
(2) arc t a n g / ( 2 ^ , iy) = arc t a n g / ( ^? y) -h arc tang(tang^? t h / ) , les arc tang prenant la \aleur zéro pour x et y nuls.
On achèvera comme dans le cas de la formule (1).
Remarque. — On arrive au résultat plus simplement en remarquant que et — ai c tang xihythy
sont lespectivement le carré du module et l'argument de lorsque l'on z
pose z = x -T- iy.
La formule évidente
^ ù l'on tire
sin -z
sin.3 z z z in
= COS - COS 7 • • • COS — • j Z 2 \ 27 1 Z
donne immédiatement, en passant à la limite pour n infini et prenant les logarithmes dont on égale partie réelle et coefficient de î, les deux formules
annoncées.
