Propriété de certaines formes quadratiques

N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

M ATHIEU W EILL

Propriété de certaines formes quadratiques

Nouvelles annales de mathématiques 4

série, tome 16 (1916), p. 266-268

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PROPRIÉTÉ DE CERTAINES FORMES QUADRATIQUES ;

Pua M. MWTKHSÜ WEfLL.

THÉORÈME.

— Le produit de deux formes

a1 •+- BT-\- cr— ah — ac — bc

peut, d'une injiwté de mamèr&&

être représenté peu*

une forme de même-espèce.

On a

-*- r* — ac — 6c — a6 = i [<2 a — 6 — c)* -+• 3 (6 — c)*]

P o s o n s

2 a - 6 - c = A, 2a'—6'—c'=A', 6 — C = B, & — C ' = B \ On a, identiquement,

(A*-+- 3B2) (A'2-f- 3B'2) = (AA'-+- 3:BB*)*-H 3(ÀB< — BÀ')«

Posons

d'où

2 a — p — Y = AA'4- 3 BB', fi — Y ^ A B ' — AR'; *

2p __ 2 a_ AA'—3BB'-+- AB— BA'

2Y = 2a —AA'—3BB'—AB'-H BA'

= 2 a — 4 aa' — 4 66' — 4 c c' -+• 4 «e' -+• 4 6a' -+• 4 eb'.

D ' a u t r e p a r t , o n a

(a2-f-62-+-c2—a6 — ac — bc) (a'2-h6-'2-bc'2—a'b'—a'c'—b'c')

— J_(A2-+-3B2)( A'2 H- 3 B'2) 16

= -L[(AA'4-3BB')24-3(AB/—BA')2J'

Posons - = K,

6' -H cc' = X, ab' -+- bc' -f- ca' = fx,

L = K - X -h p,

( 268 ) il vient

(a*-h b*-\~c2— ab — ac — bc) (a'*-+- &'*-}- c'2— a' 6'— a'c'— 6'c')

= K2-h L2-+- M2— KL — KM — LM,

où K est arbitraire; le théorème est donc établi.

En particulier, si Ton fait K = o, la forme se réduit àL

-+-M

— LM.

On peut généraliser beaucoup les résultats précé- dents.

Considérons, par exemple, l'expression ( a + ô + c + rf^+ta + ô - c — d)

= ia*-f- ib%-\- ic1 -h id1 -H ^ab -+- [xcd.

Le produit de deux formes analogues s'écrira

(U2-+- ^2)(w'2_i_ p'2) — (uil' -h VS>'Y-\-(UV — VU,')*.

Posons

a H- p -h y 4- ô = un! -+- (-'^',

on tirera de là y et o en fonction des deux arbi- traires a, p et des quantités connues a, 6, . . ., a', £/, c', rf

. Dès lors, le produit des deux formes

2 a2 + 2 ^! -4-... -h 4 erf, 2a'2-t-26'2 + . . . + 4 e' rf'

pourra se mettre, d'une double infinité de manières,

sous la forme