D147. Quatre cercles dans un triangle
Un triangle ABC dont on ne connaît pas la longueur AB=c, BC=a, CA=b des côtés, le cercle inscrit de centre O et de rayon inconnu R. On connaît les rayons des cercles tritangents au cercle inscrit et aux 2 côtés de chaque angle du triangle.
Combien vaut R ?
Procédons plus classiquement à l’envers puis nous retournerons le problème.
Soit donc un triangle ABC de côtés connus a, b, c : que valent les rayons R et 1 2 3? Il est bien connu (de moi-même, du moins), que les problèmes algébriques mettant en jeu un triangle quelconque s’expriment plus aisément avec les rayons R1, R2, R3 des cercles ayant A, B, C pour centre et tangents 2 à 2. Dans ce cas :
= Définissons les groupements invariants par permutation circulaire des indices : S = R1 + R2 + R3
D = R1.R2 + R2.R3 + R3.R1 T = R1.R2.R3
On verra que nous n’avons pas besoin de D: on l’utilise quand on calcule le rayon du cercle circonscrit ou de cercles tritangents aux cercles (A, R1), (B, R2), (C, R3).
= Ecrivons la formule de Héron avec les grandeurs précédentes : Su = (S.T)2 Formule beaucoup plus plaisante que sous la forme habituelle en fonction de a, b,c.
Traduisons l’égalité : Su(AOB) + Su(BOC) + Su(COA) = Su(ABC) ou Su
½*(R.c + R.a + R.b) = (S.T)2
= R.S R = (T/S)2 (1)
Dans la figure qui nous est donnée, appelons P la projection de O sur BC, P2 la projection de O2 sur BC. Il vient immédiatement :
OP = R BP = R2
Ecrivons le théorème de Thalès dans les triangles BOP et BO2P2 : BO/OP = BO2/O2P2 = OO2/(OP-O2P2)
Soit, en élevant l’égalité au carré, avec BO2 = BP2 + OP2: (R22 + R) / R =(R + 2) 2 / (R - 2) 2
Soit :
R22 = 4. R3. 2 / (R - 2) 2
Nous avons donc les 3 égalités, en remplaçant les rayons des cercles de centre O1, O2, O3, par leurs valeurs :
R12 = 4.R3 / (R - ) 2 (2) R22 = 16.R3 / (R - ) 2 (3) R32 = 36.R3 / (R - ) 2 (4)
Divisons (2) par (1) et (3) par (1). Il vient : R2 = 2.R1.(R – 1) / (R - ) (5)
R3 = 3.R1.(R – 1) / (R - ) (6)
Remplaçons R2 et R3 par leur expressions (5) et (6), dans S et T : S = 6. R1.(R2 – 8R +11) / [(R – 4).(R – 9)]
T = 6. R13.(R – 1)2 / [(R – 4).(R – 9)]
D’où : R2 = T/S = R12. (R – 1)2 / (R2 – 8R +11) (7)
Combinons les égalités (2) et (7) :
R12 / R2 = (R2 – 8R +11) / (R – 1)2 = 4.R / (R - )2 Soit :
R2 – 12R +11 = 0 R = 1 et R = 11 Le rayon du cercle inscrit vaut donc 11.
Les valeurs des rayons, des petits cercles, des cercles constitutifs du triangle, sa surface, etc. en découlent.
