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Submitted on 1 Jan 1955
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Calcul des intégrales de la forme [FORMULE] (m entier)
Jean Guy, Jacques Tillieu
To cite this version:
Jean Guy, Jacques Tillieu. Calcul des intégrales de la forme [FORMULE] (m entier). J. Phys. Radium,
1955, 16 (10), pp.801-802. �10.1051/jphysrad:019550016010080100�. �jpa-00235269�
801.
CALCUL DES INTÉGRALES DE LA FORME
Cm=~~+1 03BBm(03BB220141)1/2 e-a03BB d03BB (m entier)
Par MM. JEAN GUY et JACQUES TILLIEU,
Laboratoire des Recherches Physiques à la Sorbonne.
Sommaire.
-Certaines intégrales de la forme
Cm=~~+1 03BBm(03BB22014I)1 2 e-a03BBd03BB,
où
mest entier se rencontrent dans l’évaluation de la susceptibilité magnétique de la molécule d’hydro- gène. Le présent travail établit une possibilité d’évaluation de ces intégrales
enles rattachant aux
fonctions de Hankel (argument imaginaire) d’ordre zéro et d’ordre un.
LE JOURNAL DE PHYSIQUE ET LE RADIUM. TOME 16, OCTOBRE 1955,
1. Au cours du calcul de la susceptibilité magné- tique de la molécule d’hydrogène [1], nous avons
rencontré des intégrales à deux centres du type
avec p entier impair., De telles intégrales ne figurent
pas dans la table de Coulson [2] qui comporte un
certain nombre de résultats lorsque p est pair.
Par passage aux coordonnées sphéroïdales [2] 03BB,03BC, c? telles que
les intégrales (1) deviennent, en posant a
=ap et
en intégrant sur la variable Y,
1Par développement, les variables X et p se séparent.
Le calcul des intégrales portant sur jus ne présente
pas de difficulté; il reste finalement à déterminer les valeurs d’intégrales de la forme
2. Cm est une fonction uniformément continue du paramètre positif a et, par des dérivations succes- sives sous le signe d’intégration, on obtient sa valeur
à partir de Co
3. Les intégrales proposées se déduiront donc du
calcul de
’
que l’on peut encore écrire, en faisant apparaître
la quantité (03BB-I)
Or, de manière générale, on a la relation [3]
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphysrad:019550016010080100
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.
où y (p) est la transformée de Laplace (ou image symbolique) de f(t)
La relation (4’) est un cas particulier de (5) avec
Le formulaire de Mc Lachlan-Humbert [4] fournit
1
l’image symbolique de [t(1+2)]2
où H1(1) est la fonction de Hankel d’ordre 1.
D’après (4’) et (5), on a
d’où finalement
en posant z
=ia.
4. D’après la relation (3), on a
L’emploi des formules de récurrence [4]
permet d’exprimer le développement de (7) à l’aide
des seules fonctions de Hankel (argument imaginaire)
d’ordre zéro et d’ordre un H0(1)(ia) et H1(1)(ia).
On obtient ainsi pour les cinq premières fonctions
Les valeurs numériques des Cm se déduisent faci-
lement de tables des fonctions réelles H1(1)(ia)
et iH0(1)(ia) [6].
Manuscrit reçu le
a a mars1955.
BIBLIOGRAPHIE.
[1] TILLIEU J. et GUY J.
-C. R. Acad. Sc., 1955, 240, 1402.
[2] COULSON C. A.
-Proc. Camb, Phil. Soc., 1942, 38,
210.[3] HUMBERT P. et COLOMBO S.
-Le calcul symbolique et
ses
