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Et la formule de Lagrange Formule pour 2 points:

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Pour n+1 points de collocations, on aura

Et la formule de Lagrange

Formule pour 2 points:

Formule pour 3 points:

(2)

U. Laval Dept. Math & Stat MAT-2910

Chapitre 5 2

Méthode de Newton

Comment déterminer les bn?

Et par récurrence, on peut déterminer tous les coefficients

(3)

Différences divisées

On introduit la notation

On appellera première différence divisée, notée le rapport

On appellera deuxième différence divisée, notée le rapport

Et plus généralement la pième différence divisée, notée

(4)

U. Laval Dept. Math & Stat MAT-2910

Chapitre 5 4

Revenant aux coefficients du polynôme on a

Pour (x0,y0), (x1,y1)

Pour 3 points:

Et en général, pour n points:

Comment calculer de manière efficace les différences divisées?

(5)

Tableau des différences divisées

On exploite la structure particulière des diff. divisées. Soit

(x

i

,f(x

i

)) i = 0,…,n ,

on forme une table dont chaque colonne correspond à toutes les différences divisées d’un même ordre. En augmentant l’ordre de la gauche vers la droite, chaque colonne se construit en fonction de la colonne précédente. Pour 4 points,

(6)

U. Laval Dept. Math & Stat MAT-2910

Chapitre5 6

Remarques:

• Presque sous la forme Horner, donc facilement transformable pour ramener à Horner.

• On peut facilement enlever/ajouter des points de collocations.

• Dans le cas d’une fonction correspondant à un polynôme de degré n, alors les différences divisées d’ordre supérieur à n seront toutes nulles (unicité du polynôme).

• Si on n’utilise pas tous les points alors leur ordre d’apparition aura de l’importance: on n’aura pas le même polynôme de collocation puisqu’on ne prendra pas les mêmes points!

Erreur d’interpolation

Soit

(x

i

,f(x

i

)) i = 0,…,n .

On défini l’erreur d’interpolation de

f

par

p

n

(x)

est l’interpolant de

f

aux nœuds

x

0

,x

1

,…,x

n

.

On s’intéresse à l’erreur « entre » les nœuds, on voudrait évaluer l’erreur pour . Pour cela on utilisera Taylor et le théorème de Rolle.

(7)

Théorème (sur l’erreur d’interpolation)

Soit

x

0

< x

1

< x

2

< x

n, les abscisses des points d’interpolation. Si

f

est définie sur [

x

0

,x

n] et n+1 fois dérivable sur ]

x

0

,x

n[ alors pour tout , il existe tel que

Remarques

• Analogue au terme d’erreur de Lagrange, est inconnu et dépend de x. Pour estimer l’erreur, on le fera disparaitre en faisant une majoration de la dérivée de

f

:

E

n

(x

i

) = 0 i=0,1,…,n: E

n

est un polynôme de degré n+1 dont les racines sont x

0

,…,x

n

.

• Plus il y aura de points de collocation plus l’erreur oscillera autour de l’axe des x.

L’augmentation du nombre de points pouvant mener à une augmentation importante de l’erreur (effet de Runge)

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Chapitre 5 8

Si on peut choisir les points de collocations, en se basant sur l’erreur d’interpolation, il est préférable de choisir les points le plus près des points d’intérêts.

• Si on ne connait pas

f

, on ne peut pas en calculer la dérivée, cependant puisque

Alors dans le cas où varie peu on aura

Dans ce cas:

Ce qui revient à estimer l’erreur depn(x) en prenant comme valeur de référence un polynôme de degré n+1.

Attention, cet estimation n’est pas toujours très fiable.

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