LS El Alia DEVOIR DE CONTROLE N°1 AS : 2013/2014 Prof: Tlich Ahmed (Bac science) Durée : 2h
Exercice n°1 :
Choisir l’unique bonne réponse et sans justification (3 points)
1) Le nombre complexe Z= 2 ie
i2−π
égal : a) -2i b) - 2 c) 2 2) Soit deux vecteurs u
et v
d’affixes respectifs
3
3
i5Z
ue
π
=
et
2
2
i 5Z
ve
π
−
=
alors
a) u et v
sont colinéaires b) u et v
sont orthogonaux
3) Soit f une fonction continue sur [-2,2] alors la fonctions g définie par g(x) = Cos (f(x)) est continue sur : a) [-1,1] b) [-2,2] c) IR
Exercice n°2 : (6 points)
1) Résoudre dans C l’équation (E) :Z
22) Le plan complexe est munie d’un repère orthonormé direct (O, -2Z+2=0
v
u, ).On considère les points A, B et C d’affixes respectifs : Z
A= 1 +i, Z
B= 1-i et Z
C= 1 - i 3 .
a) Ecrire Z
Asous forme exponentielle puis déduire celle de Z
Bb) Monter que OAB est un triangle rectangle et isocèle en O.
. c) Déterminer l’affixe du point D pour que OADB soit un carré.
3) A tout point M du plan d’affixe Z un lui associe le points M’ d’affixe Z’ =
3
2
1 e Z
iZ i
π
−
− − a) Ecrire Z
Cb) Vérifier que : Z’ =
sous forme exponentielle.
3
3
2
( )
1
i
i
Z e
e Z i
π
−
−π− −
c) Déterminer l’ensemble des points M tel que │Z’│=1 Exercice n°3: (6,5 points)
La courbe ci-dessus est celle d’une fonction f définie sur IR*, elle admet la droite D: y =1
comme asymptote au voisinage de + ∞ et - ∞ et D’ : x=0 comme asymptote verticale.
1) a)Déterminer graphiquement les limites de f en + ∞, - ∞ ,0
+et en 0
-b) Calculer ces limites
.
lim (
2) 1
x
f x
→+∞
x + , lim
2( ) 2
x
f x
+
x
→
− et
2
( ) 1 lim ( ) 1
x
f x
→+∞
f x
−
−
2) Soit la fonction définie sur IR par g(x) =
3( ) 1
2 1 1
f x si x
x x si x
+ − ≤
a) Montrer que g est continue 1.
b) Calculer g’(x) pour tout x ] ∈ − ∞ ,1]
c) Monter que l’équation g(x) =0 admet dans ] − ∞ ,1] une unique solution α puis vérifier que 0< α <1.
3) Déterminer l’image de]- ∞, 0[par la fonction composée gof.
Exercice n°4
Soit la suite définie sur IN par : :(4,5points)
0
1
3
4 2
1
n n
n
U U U
+
U
=
−
=
+
1) a) Montrer que pour tout n Є IN : U
nb) Montrer que U est décroissante.
≥ 2 .
c) Déduire que U est convergente et calculer sa limite.
2) a) Montrer que pour tout n Є IN : U
n+12 -2 ≤ 3 (U
nb) Montrer par récurrence que pour tout n Є IN :
-2).
2 ( ) 2 3
n
